Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49829 / 57644
↖ ↑ ↗
← N 21.176729°
W 43.140564°		 ← 284.74 m → N 21.176729°
W 43.137818°		 →
↑
284.78 m
↓
↑
284.78 m
↓
N 21.174168°
W 43.140564°		 ← 284.75 m →
81 090 m²		 N 21.174168°
W 43.137818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380168914794922 y=0.439792633056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380168914794922 × 217)
    floor (0.380168914794922 × 131072)
    floor (49829.5)     		tx = 49829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439792633056641 × 217)
    floor (0.439792633056641 × 131072)
    floor (57644.5)     		ty = 57644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49829 / 57644 ti = "17/49829/57644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49829/57644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49829 ÷ 217
    49829 ÷ 131072     		x = 0.380165100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57644 ÷ 217
    57644 ÷ 131072     		y = 0.439788818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380165100097656 × 2 - 1) × π
    -0.239669799804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.75294488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439788818359375 × 2 - 1) × π
    0.12042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.378318011801483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75294488} λ = -0.75294488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378318011801483))-π/2
    2×atan(1.45982711131589)-π/2
    2×0.970199983185569-π/2
    1.94039996637114-1.57079632675     		φ = 0.36960364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75294488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.140564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36960364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.176729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49829 KachelY 57644 -0.75294488 0.36960364 -43.140564 21.176729
    Oben rechts KachelX + 1 49830 KachelY 57644 -0.75289695 0.36960364 -43.137818 21.176729
    Unten links KachelX 49829 KachelY + 1 57645 -0.75294488 0.36955894 -43.140564 21.174168
    Unten rechts KachelX + 1 49830 KachelY + 1 57645 -0.75289695 0.36955894 -43.137818 21.174168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36960364-0.36955894) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dl = 284.783700000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36960364-0.36955894) × R
    4.47000000000086e-05 × 6371000     		dr = 284.783700000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75294488--0.75289695) × cos(0.36960364) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932470602260001 × 6371000     		do = 284.741116021611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75294488--0.75289695) × cos(0.36955894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932486749018639 × 6371000     		du = 284.746046628606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36960364)-sin(0.36955894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932470602260001-0.932486749018639)×R²
    abs(-0.75289695--0.75294488)×1.6146758638369e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6146758638369e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6146758638369e-05×40589641000000     		ar = 81090.3306545294m²