Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49828 / 58235
↖ ↑ ↗
← N 19.655521°
W 43.143311°		 ← 287.63 m → N 19.655521°
W 43.140564°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
N 19.652934°
W 43.143311°		 ← 287.63 m →
82 719 m²		 N 19.652934°
W 43.140564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380161285400391 y=0.444301605224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380161285400391 × 217)
    floor (0.380161285400391 × 131072)
    floor (49828.5)     		tx = 49828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444301605224609 × 217)
    floor (0.444301605224609 × 131072)
    floor (58235.5)     		ty = 58235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49828 / 58235 ti = "17/49828/58235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49828/58235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49828 ÷ 217
    49828 ÷ 131072     		x = 0.380157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58235 ÷ 217
    58235 ÷ 131072     		y = 0.444297790527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.23968505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75299282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444297790527344 × 2 - 1) × π
    0.111404418945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.34998730412603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75299282} λ = -0.75299282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34998730412603))-π/2
    2×atan(1.41904953240487)-π/2
    2×0.956924940256225-π/2
    1.91384988051245-1.57079632675     		φ = 0.34305355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75299282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.143311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34305355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.655521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49828 KachelY 58235 -0.75299282 0.34305355 -43.143311 19.655521
    Oben rechts KachelX + 1 49829 KachelY 58235 -0.75294488 0.34305355 -43.140564 19.655521
    Unten links KachelX 49828 KachelY + 1 58236 -0.75299282 0.34300841 -43.143311 19.652934
    Unten rechts KachelX + 1 49829 KachelY + 1 58236 -0.75294488 0.34300841 -43.140564 19.652934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34305355-0.34300841) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34305355-0.34300841) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75299282--0.75294488) × cos(0.34305355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941731952402796 × 6371000     		do = 287.62917844408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75299282--0.75294488) × cos(0.34300841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941747134927009 × 6371000     		du = 287.633815577773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34305355)-sin(0.34300841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941731952402796-0.941747134927009)×R²
    abs(-0.75294488--0.75299282)×1.51825242129533e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51825242129533e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51825242129533e-05×40589641000000     		ar = 82719.0620870643m²