Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49828 / 50340
↖ ↑ ↗
← S 68.982046°
E 93.713379°		 ← 219.07 m → S 68.982046°
E 93.718872°		 →
↑
219.10 m
↓
↑
219.10 m
↓
S 68.984016°
E 93.713379°		 ← 219.05 m →
47 995 m²		 S 68.984016°
E 93.718872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760322570800781 y=0.768135070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760322570800781 × 216)
    floor (0.760322570800781 × 65536)
    floor (49828.5)     		tx = 49828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768135070800781 × 216)
    floor (0.768135070800781 × 65536)
    floor (50340.5)     		ty = 50340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49828 / 50340 ti = "16/49828/50340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49828/50340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49828 ÷ 216
    49828 ÷ 65536     		x = 0.76031494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50340 ÷ 216
    50340 ÷ 65536     		y = 0.76812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76031494140625 × 2 - 1) × π
    0.5206298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63560702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.5362548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68469440024725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63560702} λ = 1.63560702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68469440024725))-π/2
    2×atan(0.185501112388847)-π/2
    2×0.183416252139748-π/2
    0.366832504279497-1.57079632675     		φ = -1.20396382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63560702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.713379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20396382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.982046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49828 KachelY 50340 1.63560702 -1.20396382 93.713379 -68.982046
    Oben rechts KachelX + 1 49829 KachelY 50340 1.63570289 -1.20396382 93.718872 -68.982046
    Unten links KachelX 49828 KachelY + 1 50341 1.63560702 -1.20399821 93.713379 -68.984016
    Unten rechts KachelX + 1 49829 KachelY + 1 50341 1.63570289 -1.20399821 93.718872 -68.984016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20396382--1.20399821) × R
    3.43899999999397e-05 × 6371000     		dl = 219.098689999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20396382--1.20399821) × R
    3.43899999999397e-05 × 6371000     		dr = 219.098689999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63560702-1.63570289) × cos(-1.20396382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358660482326285 × 6371000     		do = 219.065436187191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63560702-1.63570289) × cos(-1.20399821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358628380146894 × 6371000     		du = 219.045828568629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20396382)-sin(-1.20399821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358660482326285-0.358628380146894)×R²
    abs(1.63570289-1.63560702)×3.21021793912024e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21021793912024e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21021793912024e-05×40589641000000     		ar = 47994.8020956561m²