Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49827 / 58205
↖ ↑ ↗
← N 19.733098°
W 43.146057°		 ← 287.49 m → N 19.733098°
W 43.143311°		 →
↑
287.52 m
↓
↑
287.52 m
↓
N 19.730513°
W 43.146057°		 ← 287.49 m →
82 661 m²		 N 19.730513°
W 43.143311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380153656005859 y=0.444072723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380153656005859 × 217)
    floor (0.380153656005859 × 131072)
    floor (49827.5)     		tx = 49827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444072723388672 × 217)
    floor (0.444072723388672 × 131072)
    floor (58205.5)     		ty = 58205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49827 / 58205 ti = "17/49827/58205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49827/58205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49827 ÷ 217
    49827 ÷ 131072     		x = 0.380149841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58205 ÷ 217
    58205 ÷ 131072     		y = 0.444068908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380149841308594 × 2 - 1) × π
    -0.239700317382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.75304076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444068908691406 × 2 - 1) × π
    0.111862182617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.351425411114632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75304076} λ = -0.75304076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351425411114632))-π/2
    2×atan(1.42109174556313)-π/2
    2×0.957601931946408-π/2
    1.91520386389282-1.57079632675     		φ = 0.34440754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75304076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.146057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34440754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.733098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49827 KachelY 58205 -0.75304076 0.34440754 -43.146057 19.733098
    Oben rechts KachelX + 1 49828 KachelY 58205 -0.75299282 0.34440754 -43.143311 19.733098
    Unten links KachelX 49827 KachelY + 1 58206 -0.75304076 0.34436241 -43.146057 19.730513
    Unten rechts KachelX + 1 49828 KachelY + 1 58206 -0.75299282 0.34436241 -43.143311 19.730513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34440754-0.34436241) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dl = 287.523230000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34440754-0.34436241) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dr = 287.523230000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75304076--0.75299282) × cos(0.34440754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941275655435291 × 6371000     		do = 287.48981360512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75304076--0.75299282) × cos(0.34436241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941290892127885 × 6371000     		du = 287.494467283231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34440754)-sin(0.34436241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941275655435291-0.941290892127885)×R²
    abs(-0.75299282--0.75304076)×1.52366925940672e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52366925940672e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52366925940672e-05×40589641000000     		ar = 82660.6688341589m²