Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49826 / 80478
↖ ↑ ↗
← S 37.922535°
W 43.148804°		 ← 240.88 m → S 37.922535°
W 43.146057°		 →
↑
240.89 m
↓
↑
240.89 m
↓
S 37.924701°
W 43.148804°		 ← 240.88 m →
58 025 m²		 S 37.924701°
W 43.146057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380146026611328 y=0.614002227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380146026611328 × 217)
    floor (0.380146026611328 × 131072)
    floor (49826.5)     		tx = 49826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614002227783203 × 217)
    floor (0.614002227783203 × 131072)
    floor (80478.5)     		ty = 80478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49826 / 80478 ti = "17/49826/80478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49826/80478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49826 ÷ 217
    49826 ÷ 131072     		x = 0.380142211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80478 ÷ 217
    80478 ÷ 131072     		y = 0.613998413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380142211914062 × 2 - 1) × π
    -0.239715576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75308869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613998413085938 × 2 - 1) × π
    -0.227996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.716273154122879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75308869} λ = -0.75308869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.716273154122879))-π/2
    2×atan(0.488569691145102)-π/2
    2×0.454461619644649-π/2
    0.908923239289299-1.57079632675     		φ = -0.66187309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75308869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.148804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66187309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.922535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49826 KachelY 80478 -0.75308869 -0.66187309 -43.148804 -37.922535
    Oben rechts KachelX + 1 49827 KachelY 80478 -0.75304076 -0.66187309 -43.146057 -37.922535
    Unten links KachelX 49826 KachelY + 1 80479 -0.75308869 -0.66191090 -43.148804 -37.924701
    Unten rechts KachelX + 1 49827 KachelY + 1 80479 -0.75304076 -0.66191090 -43.146057 -37.924701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66187309--0.66191090) × R
    3.7809999999916e-05 × 6371000     		dl = 240.887509999465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66187309--0.66191090) × R
    3.7809999999916e-05 × 6371000     		dr = 240.887509999465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75308869--0.75304076) × cos(-0.66187309) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.78884242329454 × 6371000     		do = 240.882523727488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75308869--0.75304076) × cos(-0.66191090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.788819184874748 × 6371000     		du = 240.875427596446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66187309)-sin(-0.66191090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78884242329454-0.788819184874748)×R²
    abs(-0.75304076--0.75308869)×2.32384197921265e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32384197921265e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32384197921265e-05×40589641000000     		ar = 58024.7366653536m²