Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49826 / 50425
↖ ↑ ↗
← S 69.148875°
E 93.702393°		 ← 217.40 m → S 69.148875°
E 93.707886°		 →
↑
217.44 m
↓
↑
217.44 m
↓
S 69.150831°
E 93.702393°		 ← 217.38 m →
47 271 m²		 S 69.150831°
E 93.707886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760292053222656 y=0.769432067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760292053222656 × 216)
    floor (0.760292053222656 × 65536)
    floor (49826.5)     		tx = 49826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769432067871094 × 216)
    floor (0.769432067871094 × 65536)
    floor (50425.5)     		ty = 50425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49826 / 50425 ti = "16/49826/50425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49826/50425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49826 ÷ 216
    49826 ÷ 65536     		x = 0.760284423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50425 ÷ 216
    50425 ÷ 65536     		y = 0.769424438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760284423828125 × 2 - 1) × π
    0.52056884765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63541527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769424438476562 × 2 - 1) × π
    -0.538848876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69284367318266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63541527} λ = 1.63541527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69284367318266))-π/2
    2×atan(0.183995556120714)-π/2
    2×0.18196038760158-π/2
    0.363920775203161-1.57079632675     		φ = -1.20687555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63541527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.702393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20687555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.148875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49826 KachelY 50425 1.63541527 -1.20687555 93.702393 -69.148875
    Oben rechts KachelX + 1 49827 KachelY 50425 1.63551114 -1.20687555 93.707886 -69.148875
    Unten links KachelX 49826 KachelY + 1 50426 1.63541527 -1.20690968 93.702393 -69.150831
    Unten rechts KachelX + 1 49827 KachelY + 1 50426 1.63551114 -1.20690968 93.707886 -69.150831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20687555--1.20690968) × R
    3.41300000001876e-05 × 6371000     		dl = 217.442230001195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20687555--1.20690968) × R
    3.41300000001876e-05 × 6371000     		dr = 217.442230001195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63541527-1.63551114) × cos(-1.20687555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355940958759665 × 6371000     		do = 217.404384452473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63541527-1.63551114) × cos(-1.20690968) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355909063779131 × 6371000     		du = 217.384903388438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20687555)-sin(-1.20690968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355940958759665-0.355909063779131)×R²
    abs(1.63551114-1.63541527)×3.18949805337976e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18949805337976e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18949805337976e-05×40589641000000     		ar = 47270.7761693076m²