Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49825 / 50342
↖ ↑ ↗
← S 68.985986°
E 93.696899°		 ← 219.05 m → S 68.985986°
E 93.702393°		 →
↑
219.03 m
↓
↑
219.03 m
↓
S 68.987956°
E 93.696899°		 ← 219.03 m →
47 977 m²		 S 68.987956°
E 93.702393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760276794433594 y=0.768165588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760276794433594 × 216)
    floor (0.760276794433594 × 65536)
    floor (49825.5)     		tx = 49825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768165588378906 × 216)
    floor (0.768165588378906 × 65536)
    floor (50342.5)     		ty = 50342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49825 / 50342 ti = "16/49825/50342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49825/50342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49825 ÷ 216
    49825 ÷ 65536     		x = 0.760269165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50342 ÷ 216
    50342 ÷ 65536     		y = 0.768157958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760269165039062 × 2 - 1) × π
    0.520538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63531939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.53631591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68488614784573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63531939} λ = 1.63531939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68488614784573))-π/2
    2×atan(0.185465546405986)-π/2
    2×0.183381869074131-π/2
    0.366763738148263-1.57079632675     		φ = -1.20403259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63531939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.696899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20403259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.985986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49825 KachelY 50342 1.63531939 -1.20403259 93.696899 -68.985986
    Oben rechts KachelX + 1 49826 KachelY 50342 1.63541527 -1.20403259 93.702393 -68.985986
    Unten links KachelX 49825 KachelY + 1 50343 1.63531939 -1.20406697 93.696899 -68.987956
    Unten rechts KachelX + 1 49826 KachelY + 1 50343 1.63541527 -1.20406697 93.702393 -68.987956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20403259--1.20406697) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dl = 219.034980000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20403259--1.20406697) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dr = 219.034980000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63531939-1.63541527) × cos(-1.20403259) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.35859628687829 × 6371000     		do = 219.049072561964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63531939-1.63541527) × cos(-1.20406697) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.358564193185831 × 6371000     		du = 219.029468082427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20403259)-sin(-1.20406697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35859628687829-0.358564193185831)×R²
    abs(1.63541527-1.63531939)×3.20936924588233e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.20936924588233e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.20936924588233e-05×40589641000000     		ar = 47977.2621987855m²