Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49824 / 53728
↖ ↑ ↗
← N 30.826781°
W 43.154297°		 ← 262.28 m → N 30.826781°
W 43.151550°		 →
↑
262.23 m
↓
↑
262.23 m
↓
N 30.824422°
W 43.154297°		 ← 262.28 m →
68 777 m²		 N 30.824422°
W 43.151550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380130767822266 y=0.409915924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380130767822266 × 217)
    floor (0.380130767822266 × 131072)
    floor (49824.5)     		tx = 49824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409915924072266 × 217)
    floor (0.409915924072266 × 131072)
    floor (53728.5)     		ty = 53728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49824 / 53728 ti = "17/49824/53728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49824/53728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49824 ÷ 217
    49824 ÷ 131072     		x = 0.380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53728 ÷ 217
    53728 ÷ 131072     		y = 0.409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.23974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75318457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409912109375 × 2 - 1) × π
    0.18017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.566038910713623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75318457} λ = -0.75318457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.566038910713623))-π/2
    2×atan(1.76127664171945)-π/2
    2×1.05441257568016-π/2
    2.10882515136033-1.57079632675     		φ = 0.53802882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75318457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.154297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53802882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.826781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49824 KachelY 53728 -0.75318457 0.53802882 -43.154297 30.826781
    Oben rechts KachelX + 1 49825 KachelY 53728 -0.75313663 0.53802882 -43.151550 30.826781
    Unten links KachelX 49824 KachelY + 1 53729 -0.75318457 0.53798766 -43.154297 30.824422
    Unten rechts KachelX + 1 49825 KachelY + 1 53729 -0.75313663 0.53798766 -43.151550 30.824422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53802882-0.53798766) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dl = 262.230359999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53802882-0.53798766) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dr = 262.230359999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75318457--0.75313663) × cos(0.53802882) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.858720468956848 × 6371000     		do = 262.275334684728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75318457--0.75313663) × cos(0.53798766) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.858741560436655 × 6371000     		du = 262.281776565555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53802882)-sin(0.53798766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858720468956848-0.858741560436655)×R²
    abs(-0.75313663--0.75318457)×2.10914798062234e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.10914798062234e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.10914798062234e-05×40589641000000     		ar = 68777.4000716953m²