Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49823 / 53731
↖ ↑ ↗
← N 30.819705°
W 43.157043°		 ← 262.24 m → N 30.819705°
W 43.154297°		 →
↑
262.29 m
↓
↑
262.29 m
↓
N 30.817346°
W 43.157043°		 ← 262.25 m →
68 785 m²		 N 30.817346°
W 43.154297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380123138427734 y=0.409938812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380123138427734 × 217)
    floor (0.380123138427734 × 131072)
    floor (49823.5)     		tx = 49823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409938812255859 × 217)
    floor (0.409938812255859 × 131072)
    floor (53731.5)     		ty = 53731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49823 / 53731 ti = "17/49823/53731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49823/53731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49823 ÷ 217
    49823 ÷ 131072     		x = 0.380119323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53731 ÷ 217
    53731 ÷ 131072     		y = 0.409934997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380119323730469 × 2 - 1) × π
    -0.239761352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.75323250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409934997558594 × 2 - 1) × π
    0.180130004882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.565895100014763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75323250} λ = -0.75323250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.565895100014763))-π/2
    2×atan(1.76102336950678)-π/2
    2×1.05435082680984-π/2
    2.10870165361969-1.57079632675     		φ = 0.53790533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75323250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.157043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53790533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.819705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49823 KachelY 53731 -0.75323250 0.53790533 -43.157043 30.819705
    Oben rechts KachelX + 1 49824 KachelY 53731 -0.75318457 0.53790533 -43.154297 30.819705
    Unten links KachelX 49823 KachelY + 1 53732 -0.75323250 0.53786416 -43.157043 30.817346
    Unten rechts KachelX + 1 49824 KachelY + 1 53732 -0.75318457 0.53786416 -43.154297 30.817346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53790533-0.53786416) × R
    4.11699999999238e-05 × 6371000     		dl = 262.294069999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53790533-0.53786416) × R
    4.11699999999238e-05 × 6371000     		dr = 262.294069999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75323250--0.75318457) × cos(0.53790533) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.858783744155114 × 6371000     		do = 262.239947445759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75323250--0.75318457) × cos(0.53786416) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.858804836392989 × 6371000     		du = 262.246388214334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53790533)-sin(0.53786416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858783744155114-0.858804836392989)×R²
    abs(-0.75318457--0.75323250)×2.10922378748313e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.10922378748313e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.10922378748313e-05×40589641000000     		ar = 68784.8278293074m²