Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49822 / 50374
↖ ↑ ↗
← S 69.048930°
E 93.680420°		 ← 218.42 m → S 69.048930°
E 93.685913°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
S 69.050894°
E 93.680420°		 ← 218.40 m →
47 701 m²		 S 69.050894°
E 93.685913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760231018066406 y=0.768653869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760231018066406 × 216)
    floor (0.760231018066406 × 65536)
    floor (49822.5)     		tx = 49822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768653869628906 × 216)
    floor (0.768653869628906 × 65536)
    floor (50374.5)     		ty = 50374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49822 / 50374 ti = "16/49822/50374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49822/50374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49822 ÷ 216
    49822 ÷ 65536     		x = 0.760223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50374 ÷ 216
    50374 ÷ 65536     		y = 0.768646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760223388671875 × 2 - 1) × π
    0.52044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63503177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.53729248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68795410942142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63503177} λ = 1.63503177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68795410942142))-π/2
    2×atan(0.184897417180936)-π/2
    2×0.182832576308933-π/2
    0.365665152617866-1.57079632675     		φ = -1.20513117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63503177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.680420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20513117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.048930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49822 KachelY 50374 1.63503177 -1.20513117 93.680420 -69.048930
    Oben rechts KachelX + 1 49823 KachelY 50374 1.63512765 -1.20513117 93.685913 -69.048930
    Unten links KachelX 49822 KachelY + 1 50375 1.63503177 -1.20516545 93.680420 -69.050894
    Unten rechts KachelX + 1 49823 KachelY + 1 50375 1.63512765 -1.20516545 93.685913 -69.050894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20513117--1.20516545) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dl = 218.397879999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20513117--1.20516545) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dr = 218.397879999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63503177-1.63512765) × cos(-1.20513117) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.357570554234937 × 6371000     		do = 218.422502258688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63503177-1.63512765) × cos(-1.20516545) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.357538540408406 × 6371000     		du = 218.402946565371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20513117)-sin(-1.20516545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357570554234937-0.357538540408406)×R²
    abs(1.63512765-1.63503177)×3.20138265310077e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.20138265310077e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.20138265310077e-05×40589641000000     		ar = 47700.8759812707m²