Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49821 / 50428
↖ ↑ ↗
← S 69.154740°
E 93.674927°		 ← 217.35 m → S 69.154740°
E 93.680420°		 →
↑
217.38 m
↓
↑
217.38 m
↓
S 69.156695°
E 93.674927°		 ← 217.33 m →
47 244 m²		 S 69.156695°
E 93.680420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760215759277344 y=0.769477844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760215759277344 × 216)
    floor (0.760215759277344 × 65536)
    floor (49821.5)     		tx = 49821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769477844238281 × 216)
    floor (0.769477844238281 × 65536)
    floor (50428.5)     		ty = 50428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49821 / 50428 ti = "16/49821/50428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49821/50428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49821 ÷ 216
    49821 ÷ 65536     		x = 0.760208129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50428 ÷ 216
    50428 ÷ 65536     		y = 0.76947021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760208129882812 × 2 - 1) × π
    0.520416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63493590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76947021484375 × 2 - 1) × π
    -0.5389404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69313129458038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63493590} λ = 1.63493590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69313129458038))-π/2
    2×atan(0.183942642671573)-π/2
    2×0.181909206362525-π/2
    0.36381841272505-1.57079632675     		φ = -1.20697791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63493590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.674927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20697791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.154740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49821 KachelY 50428 1.63493590 -1.20697791 93.674927 -69.154740
    Oben rechts KachelX + 1 49822 KachelY 50428 1.63503177 -1.20697791 93.680420 -69.154740
    Unten links KachelX 49821 KachelY + 1 50429 1.63493590 -1.20701203 93.674927 -69.156695
    Unten rechts KachelX + 1 49822 KachelY + 1 50429 1.63503177 -1.20701203 93.680420 -69.156695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20697791--1.20701203) × R
    3.41200000000264e-05 × 6371000     		dl = 217.378520000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20697791--1.20701203) × R
    3.41200000000264e-05 × 6371000     		dr = 217.378520000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63493590-1.63503177) × cos(-1.20697791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355845300610698 × 6371000     		do = 217.345957624983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63493590-1.63503177) × cos(-1.20701203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355813413732461 × 6371000     		du = 217.326481509732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20697791)-sin(-1.20701203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355845300610698-0.355813413732461)×R²
    abs(1.63503177-1.63493590)×3.18868782370751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18868782370751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18868782370751e-05×40589641000000     		ar = 47244.2257565546m²