Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49820 / 57660
↖ ↑ ↗
← N 21.135745°
W 43.165283°		 ← 284.82 m → N 21.135745°
W 43.162537°		 →
↑
284.85 m
↓
↑
284.85 m
↓
N 21.133183°
W 43.165283°		 ← 284.82 m →
81 131 m²		 N 21.133183°
W 43.162537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380100250244141 y=0.439914703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380100250244141 × 217)
    floor (0.380100250244141 × 131072)
    floor (49820.5)     		tx = 49820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439914703369141 × 217)
    floor (0.439914703369141 × 131072)
    floor (57660.5)     		ty = 57660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49820 / 57660 ti = "17/49820/57660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49820/57660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49820 ÷ 217
    49820 ÷ 131072     		x = 0.380096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57660 ÷ 217
    57660 ÷ 131072     		y = 0.439910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380096435546875 × 2 - 1) × π
    -0.23980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75337631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439910888671875 × 2 - 1) × π
    0.12017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.377551021407562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75337631} λ = -0.75337631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377551021407562))-π/2
    2×atan(1.45870786722432)-π/2
    2×0.969842335673942-π/2
    1.93968467134788-1.57079632675     		φ = 0.36888834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75337631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.165283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36888834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.135745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49820 KachelY 57660 -0.75337631 0.36888834 -43.165283 21.135745
    Oben rechts KachelX + 1 49821 KachelY 57660 -0.75332838 0.36888834 -43.162537 21.135745
    Unten links KachelX 49820 KachelY + 1 57661 -0.75337631 0.36884363 -43.165283 21.133183
    Unten rechts KachelX + 1 49821 KachelY + 1 57661 -0.75332838 0.36884363 -43.162537 21.133183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36888834-0.36884363) × R
    4.47100000000034e-05 × 6371000     		dl = 284.847410000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36888834-0.36884363) × R
    4.47100000000034e-05 × 6371000     		dr = 284.847410000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75337631--0.75332838) × cos(0.36888834) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932728762854943 × 6371000     		do = 284.819948464948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75337631--0.75332838) × cos(0.36884363) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932744883399835 × 6371000     		du = 284.824871067261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36888834)-sin(0.36884363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932728762854943-0.932744883399835)×R²
    abs(-0.75332838--0.75337631)×1.61205448915291e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61205448915291e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61205448915291e-05×40589641000000     		ar = 81130.9257454084m²