Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49820 / 50354
↖ ↑ ↗
← S 69.009611°
E 93.669433°		 ← 218.81 m → S 69.009611°
E 93.674927°		 →
↑
218.78 m
↓
↑
218.78 m
↓
S 69.011579°
E 93.669433°		 ← 218.79 m →
47 870 m²		 S 69.011579°
E 93.674927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760200500488281 y=0.768348693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760200500488281 × 216)
    floor (0.760200500488281 × 65536)
    floor (49820.5)     		tx = 49820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768348693847656 × 216)
    floor (0.768348693847656 × 65536)
    floor (50354.5)     		ty = 50354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49820 / 50354 ti = "16/49820/50354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49820/50354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49820 ÷ 216
    49820 ÷ 65536     		x = 0.76019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50354 ÷ 216
    50354 ÷ 65536     		y = 0.768341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76019287109375 × 2 - 1) × π
    0.5203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63484002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768341064453125 × 2 - 1) × π
    -0.53668212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68603663343662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63484002} λ = 1.63484002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68603663343662))-π/2
    2×atan(0.185252293662867)-π/2
    2×0.18317569987833-π/2
    0.36635139975666-1.57079632675     		φ = -1.20444493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63484002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.669433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20444493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.009611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49820 KachelY 50354 1.63484002 -1.20444493 93.669433 -69.009611
    Oben rechts KachelX + 1 49821 KachelY 50354 1.63493590 -1.20444493 93.674927 -69.009611
    Unten links KachelX 49820 KachelY + 1 50355 1.63484002 -1.20447927 93.669433 -69.011579
    Unten rechts KachelX + 1 49821 KachelY + 1 50355 1.63493590 -1.20447927 93.674927 -69.011579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20444493--1.20447927) × R
    3.43400000000216e-05 × 6371000     		dl = 218.780140000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20444493--1.20447927) × R
    3.43400000000216e-05 × 6371000     		dr = 218.780140000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63484002-1.63493590) × cos(-1.20444493) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.358211340006114 × 6371000     		do = 218.813927195881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63484002-1.63493590) × cos(-1.20447927) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.358179278579174 × 6371000     		du = 218.794342425784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20444493)-sin(-1.20447927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358211340006114-0.358179278579174)×R²
    abs(1.63493590-1.63484002)×3.20614269397335e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.20614269397335e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.20614269397335e-05×40589641000000     		ar = 47869.9992513266m²