Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49820 / 50347
↖ ↑ ↗
← S 68.995833°
E 93.669433°		 ← 218.95 m → S 68.995833°
E 93.674927°		 →
↑
218.91 m
↓
↑
218.91 m
↓
S 68.997801°
E 93.669433°		 ← 218.93 m →
47 928 m²		 S 68.997801°
E 93.674927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760200500488281 y=0.768241882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760200500488281 × 216)
    floor (0.760200500488281 × 65536)
    floor (49820.5)     		tx = 49820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768241882324219 × 216)
    floor (0.768241882324219 × 65536)
    floor (50347.5)     		ty = 50347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49820 / 50347 ti = "16/49820/50347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49820/50347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49820 ÷ 216
    49820 ÷ 65536     		x = 0.76019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50347 ÷ 216
    50347 ÷ 65536     		y = 0.768234252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76019287109375 × 2 - 1) × π
    0.5203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63484002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768234252929688 × 2 - 1) × π
    -0.536468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68536551684193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63484002} λ = 1.63484002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68536551684193))-π/2
    2×atan(0.185376661279264)-π/2
    2×0.18329593833111-π/2
    0.366591876662221-1.57079632675     		φ = -1.20420445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63484002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.669433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20420445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.995833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49820 KachelY 50347 1.63484002 -1.20420445 93.669433 -68.995833
    Oben rechts KachelX + 1 49821 KachelY 50347 1.63493590 -1.20420445 93.674927 -68.995833
    Unten links KachelX 49820 KachelY + 1 50348 1.63484002 -1.20423881 93.669433 -68.997801
    Unten rechts KachelX + 1 49821 KachelY + 1 50348 1.63493590 -1.20423881 93.674927 -68.997801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20420445--1.20423881) × R
    3.43600000001221e-05 × 6371000     		dl = 218.907560000778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20420445--1.20423881) × R
    3.43600000001221e-05 × 6371000     		dr = 218.907560000778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63484002-1.63493590) × cos(-1.20420445) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.358435851520377 × 6371000     		do = 218.951070386646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63484002-1.63493590) × cos(-1.20423881) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.358403774381037 × 6371000     		du = 218.931476018606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20420445)-sin(-1.20423881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358435851520377-0.358403774381037)×R²
    abs(1.63493590-1.63484002)×3.20771393395591e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.20771393395591e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.20771393395591e-05×40589641000000     		ar = 47927.8999052001m²