Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4982 / 5206
↖ ↑ ↗
← S 43.771094°
E 38.935547°		 ← 3 528.58 m → S 43.771094°
E 38.979492°		 →
↑
3 527.69 m
↓
↑
3 527.69 m
↓
S 43.802819°
E 38.935547°		 ← 3 526.71 m →
12 444 430 m²		 S 43.802819°
E 38.979492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60821533203125 y=0.63555908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60821533203125 × 213)
    floor (0.60821533203125 × 8192)
    floor (4982.5)     		tx = 4982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63555908203125 × 213)
    floor (0.63555908203125 × 8192)
    floor (5206.5)     		ty = 5206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4982 / 5206 ti = "13/4982/5206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4982/5206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4982 ÷ 213
    4982 ÷ 8192     		x = 0.608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5206 ÷ 213
    5206 ÷ 8192     		y = 0.635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608154296875 × 2 - 1) × π
    0.21630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67955349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.27099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.851359337252197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67955349} λ = 0.67955349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851359337252197))-π/2
    2×atan(0.426834325618894)-π/2
    2×0.403423311246641-π/2
    0.806846622493282-1.57079632675     		φ = -0.76394970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67955349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.935547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76394970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.771094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4982 KachelY 5206 0.67955349 -0.76394970 38.935547 -43.771094
    Oben rechts KachelX + 1 4983 KachelY 5206 0.68032048 -0.76394970 38.979492 -43.771094
    Unten links KachelX 4982 KachelY + 1 5207 0.67955349 -0.76450341 38.935547 -43.802819
    Unten rechts KachelX + 1 4983 KachelY + 1 5207 0.68032048 -0.76450341 38.979492 -43.802819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76394970--0.76450341) × R
    0.000553710000000041 × 6371000     		dl = 3527.68641000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76394970--0.76450341) × R
    0.000553710000000041 × 6371000     		dr = 3527.68641000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67955349-0.68032048) × cos(-0.76394970) × R
    0.000766990000000023 × 0.722109331023211 × 6371000     		do = 3528.58240069141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67955349-0.68032048) × cos(-0.76450341) × R
    0.000766990000000023 × 0.721726175423558 × 6371000     		du = 3526.71011342469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76394970)-sin(-0.76450341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722109331023211-0.721726175423558)×R²
    abs(0.68032048-0.67955349)×0.000383155599652518×R²
    0.000766990000000023×0.000383155599652518×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383155599652518×40589641000000     		ar = 12444430.0782623m²