Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49819 / 50379
↖ ↑ ↗
← S 69.058749°
E 93.663940°		 ← 218.30 m → S 69.058749°
E 93.669433°		 →
↑
218.33 m
↓
↑
218.33 m
↓
S 69.060712°
E 93.663940°		 ← 218.28 m →
47 661 m²		 S 69.060712°
E 93.669433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760185241699219 y=0.768730163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760185241699219 × 216)
    floor (0.760185241699219 × 65536)
    floor (49819.5)     		tx = 49819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768730163574219 × 216)
    floor (0.768730163574219 × 65536)
    floor (50379.5)     		ty = 50379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49819 / 50379 ti = "16/49819/50379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49819/50379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49819 ÷ 216
    49819 ÷ 65536     		x = 0.760177612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50379 ÷ 216
    50379 ÷ 65536     		y = 0.768722534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760177612304688 × 2 - 1) × π
    0.520355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63474415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768722534179688 × 2 - 1) × π
    -0.537445068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68843347841762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63474415} λ = 1.63474415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68843347841762))-π/2
    2×atan(0.184808804332485)-π/2
    2×0.182746891372438-π/2
    0.365493782744877-1.57079632675     		φ = -1.20530254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63474415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.663940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20530254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.058749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49819 KachelY 50379 1.63474415 -1.20530254 93.663940 -69.058749
    Oben rechts KachelX + 1 49820 KachelY 50379 1.63484002 -1.20530254 93.669433 -69.058749
    Unten links KachelX 49819 KachelY + 1 50380 1.63474415 -1.20533681 93.663940 -69.060712
    Unten rechts KachelX + 1 49820 KachelY + 1 50380 1.63484002 -1.20533681 93.669433 -69.060712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20530254--1.20533681) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dl = 218.334170000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20530254--1.20533681) × R
    3.42700000000029e-05 × 6371000     		dr = 218.334170000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63474415-1.63484002) × cos(-1.20530254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357410508919578 × 6371000     		do = 218.30196771755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63474415-1.63484002) × cos(-1.20533681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.357378502332637 × 6371000     		du = 218.282418485686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20530254)-sin(-1.20533681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357410508919578-0.357378502332637)×R²
    abs(1.63484002-1.63474415)×3.20065869415243e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20065869415243e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20065869415243e-05×40589641000000     		ar = 47660.6448033798m²