Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49817 / 58269
↖ ↑ ↗
← N 19.567554°
W 43.173523°		 ← 287.79 m → N 19.567554°
W 43.170776°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
N 19.564966°
W 43.173523°		 ← 287.79 m →
82 819 m²		 N 19.564966°
W 43.170776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380077362060547 y=0.444561004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380077362060547 × 217)
    floor (0.380077362060547 × 131072)
    floor (49817.5)     		tx = 49817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444561004638672 × 217)
    floor (0.444561004638672 × 131072)
    floor (58269.5)     		ty = 58269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49817 / 58269 ti = "17/49817/58269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49817/58269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49817 ÷ 217
    49817 ÷ 131072     		x = 0.380073547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58269 ÷ 217
    58269 ÷ 131072     		y = 0.444557189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380073547363281 × 2 - 1) × π
    -0.239852905273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.75352013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444557189941406 × 2 - 1) × π
    0.110885620117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.348357449538948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75352013} λ = -0.75352013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348357449538948))-π/2
    2×atan(1.41673857179164)-π/2
    2×0.956157287083433-π/2
    1.91231457416687-1.57079632675     		φ = 0.34151825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75352013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.173523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34151825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.567554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49817 KachelY 58269 -0.75352013 0.34151825 -43.173523 19.567554
    Oben rechts KachelX + 1 49818 KachelY 58269 -0.75347219 0.34151825 -43.170776 19.567554
    Unten links KachelX 49817 KachelY + 1 58270 -0.75352013 0.34147308 -43.173523 19.564966
    Unten rechts KachelX + 1 49818 KachelY + 1 58270 -0.75347219 0.34147308 -43.170776 19.564966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34151825-0.34147308) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dl = 287.778070000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34151825-0.34147308) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dr = 287.778070000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75352013--0.75347219) × cos(0.34151825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942247262381523 × 6371000     		do = 287.786567375662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75352013--0.75347219) × cos(0.34147308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942262389668341 × 6371000     		du = 287.791187638433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34151825)-sin(0.34147308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942247262381523-0.942262389668341)×R²
    abs(-0.75347219--0.75352013)×1.51272868179619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51272868179619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51272868179619e-05×40589641000000     		ar = 82819.3277505945m²