Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49815 / 59009
↖ ↑ ↗
← N 17.641405°
W 43.179016°		 ← 291.06 m → N 17.641405°
W 43.176269°		 →
↑
291.09 m
↓
↑
291.09 m
↓
N 17.638787°
W 43.179016°		 ← 291.07 m →
84 726 m²		 N 17.638787°
W 43.176269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380062103271484 y=0.450206756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380062103271484 × 217)
    floor (0.380062103271484 × 131072)
    floor (49815.5)     		tx = 49815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450206756591797 × 217)
    floor (0.450206756591797 × 131072)
    floor (59009.5)     		ty = 59009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49815 / 59009 ti = "17/49815/59009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49815/59009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49815 ÷ 217
    49815 ÷ 131072     		x = 0.380058288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59009 ÷ 217
    59009 ÷ 131072     		y = 0.450202941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380058288574219 × 2 - 1) × π
    -0.239883422851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.75361600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450202941894531 × 2 - 1) × π
    0.0995941162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.312884143820106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75361600} λ = -0.75361600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312884143820106))-π/2
    2×atan(1.36736310438463)-π/2
    2×0.939348461140054-π/2
    1.87869692228011-1.57079632675     		φ = 0.30790060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75361600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.179016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30790060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.641405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49815 KachelY 59009 -0.75361600 0.30790060 -43.179016 17.641405
    Oben rechts KachelX + 1 49816 KachelY 59009 -0.75356806 0.30790060 -43.176269 17.641405
    Unten links KachelX 49815 KachelY + 1 59010 -0.75361600 0.30785491 -43.179016 17.638787
    Unten rechts KachelX + 1 49816 KachelY + 1 59010 -0.75356806 0.30785491 -43.176269 17.638787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30790060-0.30785491) × R
    4.56900000000426e-05 × 6371000     		dl = 291.090990000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30790060-0.30785491) × R
    4.56900000000426e-05 × 6371000     		dr = 291.090990000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75361600--0.75356806) × cos(0.30790060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952971910821626 × 6371000     		do = 291.062151061718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75361600--0.75356806) × cos(0.30785491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952985756576025 × 6371000     		du = 291.066379911501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30790060)-sin(0.30785491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952971910821626-0.952985756576025)×R²
    abs(-0.75356806--0.75361600)×1.38457543982229e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38457543982229e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38457543982229e-05×40589641000000     		ar = 84726.1852090294m²