Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49815 / 58253
↖ ↑ ↗
← N 19.608956°
W 43.179016°		 ← 287.71 m → N 19.608956°
W 43.176269°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
N 19.606369°
W 43.179016°		 ← 287.72 m →
82 780 m²		 N 19.606369°
W 43.176269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380062103271484 y=0.444438934326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380062103271484 × 217)
    floor (0.380062103271484 × 131072)
    floor (49815.5)     		tx = 49815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444438934326172 × 217)
    floor (0.444438934326172 × 131072)
    floor (58253.5)     		ty = 58253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49815 / 58253 ti = "17/49815/58253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49815/58253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49815 ÷ 217
    49815 ÷ 131072     		x = 0.380058288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58253 ÷ 217
    58253 ÷ 131072     		y = 0.444435119628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380058288574219 × 2 - 1) × π
    -0.239883422851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.75361600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444435119628906 × 2 - 1) × π
    0.111129760742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.349124439932869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75361600} λ = -0.75361600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349124439932869))-π/2
    2×atan(1.41782561348888)-π/2
    2×0.95651858794452-π/2
    1.91303717588904-1.57079632675     		φ = 0.34224085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75361600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.179016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34224085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.608956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49815 KachelY 58253 -0.75361600 0.34224085 -43.179016 19.608956
    Oben rechts KachelX + 1 49816 KachelY 58253 -0.75356806 0.34224085 -43.176269 19.608956
    Unten links KachelX 49815 KachelY + 1 58254 -0.75361600 0.34219569 -43.179016 19.606369
    Unten rechts KachelX + 1 49816 KachelY + 1 58254 -0.75356806 0.34219569 -43.176269 19.606369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34224085-0.34219569) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34224085-0.34219569) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75361600--0.75356806) × cos(0.34224085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942005004626074 × 6371000     		do = 287.712575621434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75361600--0.75356806) × cos(0.34219569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942020159308426 × 6371000     		du = 287.717204251505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34224085)-sin(0.34219569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942005004626074-0.942020159308426)×R²
    abs(-0.75356806--0.75361600)×1.51546823516924e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51546823516924e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51546823516924e-05×40589641000000     		ar = 82779.7054345747m²