Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49814 / 50334
↖ ↑ ↗
← S 68.970221°
E 93.636475°		 ← 219.21 m → S 68.970221°
E 93.641968°		 →
↑
219.16 m
↓
↑
219.16 m
↓
S 68.972192°
E 93.636475°		 ← 219.19 m →
48 040 m²		 S 68.972192°
E 93.641968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760108947753906 y=0.768043518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760108947753906 × 216)
    floor (0.760108947753906 × 65536)
    floor (49814.5)     		tx = 49814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768043518066406 × 216)
    floor (0.768043518066406 × 65536)
    floor (50334.5)     		ty = 50334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49814 / 50334 ti = "16/49814/50334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49814/50334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49814 ÷ 216
    49814 ÷ 65536     		x = 0.760101318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50334 ÷ 216
    50334 ÷ 65536     		y = 0.768035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760101318359375 × 2 - 1) × π
    0.52020263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63426478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768035888671875 × 2 - 1) × π
    -0.53607177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68411915745181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63426478} λ = 1.63426478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68411915745181))-π/2
    2×atan(0.185607851264736)-π/2
    2×0.183519438269064-π/2
    0.367038876538128-1.57079632675     		φ = -1.20375745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63426478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.636475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20375745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.970221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49814 KachelY 50334 1.63426478 -1.20375745 93.636475 -68.970221
    Oben rechts KachelX + 1 49815 KachelY 50334 1.63436066 -1.20375745 93.641968 -68.970221
    Unten links KachelX 49814 KachelY + 1 50335 1.63426478 -1.20379185 93.636475 -68.972192
    Unten rechts KachelX + 1 49815 KachelY + 1 50335 1.63436066 -1.20379185 93.641968 -68.972192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20375745--1.20379185) × R
    3.4400000000101e-05 × 6371000     		dl = 219.162400000644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20375745--1.20379185) × R
    3.4400000000101e-05 × 6371000     		dr = 219.162400000644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63426478-1.63436066) × cos(-1.20375745) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.358853114495393 × 6371000     		do = 219.205956091976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63426478-1.63436066) × cos(-1.20379185) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.358821005527944 × 6371000     		du = 219.186342281689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20375745)-sin(-1.20379185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358853114495393-0.358821005527944)×R²
    abs(1.63436066-1.63426478)×3.2108967449096e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2108967449096e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2108967449096e-05×40589641000000     		ar = 48039.5541316588m²