Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49814 / 50332
↖ ↑ ↗
← S 68.966278°
E 93.636475°		 ← 219.25 m → S 68.966278°
E 93.641968°		 →
↑
219.23 m
↓
↑
219.23 m
↓
S 68.968250°
E 93.636475°		 ← 219.23 m →
48 062 m²		 S 68.968250°
E 93.641968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760108947753906 y=0.768013000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760108947753906 × 216)
    floor (0.760108947753906 × 65536)
    floor (49814.5)     		tx = 49814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768013000488281 × 216)
    floor (0.768013000488281 × 65536)
    floor (50332.5)     		ty = 50332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49814 / 50332 ti = "16/49814/50332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49814/50332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49814 ÷ 216
    49814 ÷ 65536     		x = 0.760101318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50332 ÷ 216
    50332 ÷ 65536     		y = 0.76800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760101318359375 × 2 - 1) × π
    0.52020263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63426478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.5360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68392740985333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63426478} λ = 1.63426478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68392740985333))-π/2
    2×atan(0.185643444536828)-π/2
    2×0.183553845959454-π/2
    0.367107691918908-1.57079632675     		φ = -1.20368863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63426478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.636475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20368863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.966278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49814 KachelY 50332 1.63426478 -1.20368863 93.636475 -68.966278
    Oben rechts KachelX + 1 49815 KachelY 50332 1.63436066 -1.20368863 93.641968 -68.966278
    Unten links KachelX 49814 KachelY + 1 50333 1.63426478 -1.20372304 93.636475 -68.968250
    Unten rechts KachelX + 1 49815 KachelY + 1 50333 1.63436066 -1.20372304 93.641968 -68.968250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20368863--1.20372304) × R
    3.44100000000402e-05 × 6371000     		dl = 219.226110000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20368863--1.20372304) × R
    3.44100000000402e-05 × 6371000     		dr = 219.226110000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63426478-1.63436066) × cos(-1.20368863) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.358917349823682 × 6371000     		do = 219.24519433733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63426478-1.63436066) × cos(-1.20372304) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.358885232372006 × 6371000     		du = 219.22557534444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20368863)-sin(-1.20372304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358917349823682-0.358885232372006)×R²
    abs(1.63436066-1.63426478)×3.21174516761946e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.21174516761946e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.21174516761946e-05×40589641000000     		ar = 48062.1205977865m²