Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49813 / 50333
↖ ↑ ↗
← S 68.968250°
E 93.630982°		 ← 219.20 m → S 68.968250°
E 93.636475°		 →
↑
219.23 m
↓
↑
219.23 m
↓
S 68.970221°
E 93.630982°		 ← 219.18 m →
48 053 m²		 S 68.970221°
E 93.636475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760093688964844 y=0.768028259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760093688964844 × 216)
    floor (0.760093688964844 × 65536)
    floor (49813.5)     		tx = 49813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768028259277344 × 216)
    floor (0.768028259277344 × 65536)
    floor (50333.5)     		ty = 50333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49813 / 50333 ti = "16/49813/50333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49813/50333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49813 ÷ 216
    49813 ÷ 65536     		x = 0.760086059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50333 ÷ 216
    50333 ÷ 65536     		y = 0.768020629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760086059570312 × 2 - 1) × π
    0.520172119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63416891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768020629882812 × 2 - 1) × π
    -0.536041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68402328365257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63416891} λ = 1.63416891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68402328365257))-π/2
    2×atan(0.185625647047667)-π/2
    2×0.1835366413445-π/2
    0.367073282689-1.57079632675     		φ = -1.20372304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63416891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.630982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20372304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.968250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49813 KachelY 50333 1.63416891 -1.20372304 93.630982 -68.968250
    Oben rechts KachelX + 1 49814 KachelY 50333 1.63426478 -1.20372304 93.636475 -68.968250
    Unten links KachelX 49813 KachelY + 1 50334 1.63416891 -1.20375745 93.630982 -68.970221
    Unten rechts KachelX + 1 49814 KachelY + 1 50334 1.63426478 -1.20375745 93.636475 -68.970221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20372304--1.20375745) × R
    3.44099999998182e-05 × 6371000     		dl = 219.226109998842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20372304--1.20375745) × R
    3.44099999998182e-05 × 6371000     		dr = 219.226109998842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63416891-1.63426478) × cos(-1.20372304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358885232372006 × 6371000     		do = 219.202710766425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63416891-1.63426478) × cos(-1.20375745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358853114495393 × 6371000     		du = 219.183093560191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20372304)-sin(-1.20375745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358885232372006-0.358853114495393)×R²
    abs(1.63426478-1.63416891)×3.21178766133912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21178766133912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21178766133912e-05×40589641000000     		ar = 48052.8072851203m²