Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49812 / 50420
↖ ↑ ↗
← S 69.139097°
E 93.625488°		 ← 217.52 m → S 69.139097°
E 93.630982°		 →
↑
217.51 m
↓
↑
217.51 m
↓
S 69.141053°
E 93.625488°		 ← 217.50 m →
47 311 m²		 S 69.141053°
E 93.630982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760078430175781 y=0.769355773925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760078430175781 × 216)
    floor (0.760078430175781 × 65536)
    floor (49812.5)     		tx = 49812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769355773925781 × 216)
    floor (0.769355773925781 × 65536)
    floor (50420.5)     		ty = 50420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49812 / 50420 ti = "16/49812/50420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49812/50420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49812 ÷ 216
    49812 ÷ 65536     		x = 0.76007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50420 ÷ 216
    50420 ÷ 65536     		y = 0.76934814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76007080078125 × 2 - 1) × π
    0.5201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63407303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76934814453125 × 2 - 1) × π
    -0.5386962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69236430418646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63407303} λ = 1.63407303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69236430418646))-π/2
    2×atan(0.184083779029731)-π/2
    2×0.182045720242855-π/2
    0.364091440485709-1.57079632675     		φ = -1.20670489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63407303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.625488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20670489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.139097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49812 KachelY 50420 1.63407303 -1.20670489 93.625488 -69.139097
    Oben rechts KachelX + 1 49813 KachelY 50420 1.63416891 -1.20670489 93.630982 -69.139097
    Unten links KachelX 49812 KachelY + 1 50421 1.63407303 -1.20673903 93.625488 -69.141053
    Unten rechts KachelX + 1 49813 KachelY + 1 50421 1.63416891 -1.20673903 93.630982 -69.141053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20670489--1.20673903) × R
    3.41400000001268e-05 × 6371000     		dl = 217.505940000808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20670489--1.20673903) × R
    3.41400000001268e-05 × 6371000     		dr = 217.505940000808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63407303-1.63416891) × cos(-1.20670489) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.356100436786763 × 6371000     		do = 217.524478840202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63407303-1.63416891) × cos(-1.20673903) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.356068534535225 × 6371000     		du = 217.504991302634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20670489)-sin(-1.20673903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356100436786763-0.356068534535225)×R²
    abs(1.63416891-1.63407303)×3.19022515377076e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.19022515377076e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.19022515377076e-05×40589641000000     		ar = 47310.7469200792m²