Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49811 / 58259
↖ ↑ ↗
← N 19.593432°
W 43.190003°		 ← 287.74 m → N 19.593432°
W 43.187256°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
N 19.590844°
W 43.190003°		 ← 287.74 m →
82 806 m²		 N 19.590844°
W 43.187256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380031585693359 y=0.444484710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380031585693359 × 217)
    floor (0.380031585693359 × 131072)
    floor (49811.5)     		tx = 49811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444484710693359 × 217)
    floor (0.444484710693359 × 131072)
    floor (58259.5)     		ty = 58259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49811 / 58259 ti = "17/49811/58259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49811/58259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49811 ÷ 217
    49811 ÷ 131072     		x = 0.380027770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58259 ÷ 217
    58259 ÷ 131072     		y = 0.444480895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380027770996094 × 2 - 1) × π
    -0.239944458007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.75380775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444480895996094 × 2 - 1) × π
    0.111038208007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.348836818535149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75380775} λ = -0.75380775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348836818535149))-π/2
    2×atan(1.41741787514415)-π/2
    2×0.956383111009712-π/2
    1.91276622201942-1.57079632675     		φ = 0.34196990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75380775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.190003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34196990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.593432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49811 KachelY 58259 -0.75380775 0.34196990 -43.190003 19.593432
    Oben rechts KachelX + 1 49812 KachelY 58259 -0.75375981 0.34196990 -43.187256 19.593432
    Unten links KachelX 49811 KachelY + 1 58260 -0.75380775 0.34192473 -43.190003 19.590844
    Unten rechts KachelX + 1 49812 KachelY + 1 58260 -0.75375981 0.34192473 -43.187256 19.590844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34196990-0.34192473) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dl = 287.778069999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34196990-0.34192473) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dr = 287.778069999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75380775--0.75375981) × cos(0.34196990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942095900548431 × 6371000     		do = 287.740337575782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75380775--0.75375981) × cos(0.34192473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942111047056675 × 6371000     		du = 287.744963709271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34196990)-sin(0.34192473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942095900548431-0.942111047056675)×R²
    abs(-0.75375981--0.75380775)×1.51465082438573e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51465082438573e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51465082438573e-05×40589641000000     		ar = 82806.0246726852m²