Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49811 / 50358
↖ ↑ ↗
← S 69.017480°
E 93.619995°		 ← 218.71 m → S 69.017480°
E 93.625488°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
S 69.019447°
E 93.619995°		 ← 218.69 m →
47 834 m²		 S 69.019447°
E 93.625488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760063171386719 y=0.768409729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760063171386719 × 216)
    floor (0.760063171386719 × 65536)
    floor (49811.5)     		tx = 49811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768409729003906 × 216)
    floor (0.768409729003906 × 65536)
    floor (50358.5)     		ty = 50358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49811 / 50358 ti = "16/49811/50358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49811/50358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49811 ÷ 216
    49811 ÷ 65536     		x = 0.760055541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50358 ÷ 216
    50358 ÷ 65536     		y = 0.768402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760055541992188 × 2 - 1) × π
    0.520111083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63397716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768402099609375 × 2 - 1) × π
    -0.53680419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68642012863358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63397716} λ = 1.63397716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68642012863358))-π/2
    2×atan(0.185181263918675)-π/2
    2×0.18310702600878-π/2
    0.366214052017559-1.57079632675     		φ = -1.20458227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63397716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.619995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20458227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.017480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49811 KachelY 50358 1.63397716 -1.20458227 93.619995 -69.017480
    Oben rechts KachelX + 1 49812 KachelY 50358 1.63407303 -1.20458227 93.625488 -69.017480
    Unten links KachelX 49811 KachelY + 1 50359 1.63397716 -1.20461660 93.619995 -69.019447
    Unten rechts KachelX + 1 49812 KachelY + 1 50359 1.63407303 -1.20461660 93.625488 -69.019447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20458227--1.20461660) × R
    3.43300000000824e-05 × 6371000     		dl = 218.716430000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20458227--1.20461660) × R
    3.43300000000824e-05 × 6371000     		dr = 218.716430000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63397716-1.63407303) × cos(-1.20458227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358083110438034 × 6371000     		do = 218.712784499106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63397716-1.63407303) × cos(-1.20461660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358051056659076 × 6371000     		du = 218.693206442936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20458227)-sin(-1.20461660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358083110438034-0.358051056659076)×R²
    abs(1.63407303-1.63397716)×3.205377895793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.205377895793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.205377895793e-05×40589641000000     		ar = 47833.9384047452m²