Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49810 / 58258
↖ ↑ ↗
← N 19.596019°
W 43.192749°		 ← 287.68 m → N 19.596019°
W 43.190003°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
N 19.593432°
W 43.192749°		 ← 287.68 m →
82 769 m²		 N 19.593432°
W 43.190003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380023956298828 y=0.444477081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380023956298828 × 217)
    floor (0.380023956298828 × 131072)
    floor (49810.5)     		tx = 49810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444477081298828 × 217)
    floor (0.444477081298828 × 131072)
    floor (58258.5)     		ty = 58258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49810 / 58258 ti = "17/49810/58258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49810/58258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49810 ÷ 217
    49810 ÷ 131072     		x = 0.380020141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58258 ÷ 217
    58258 ÷ 131072     		y = 0.444473266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380020141601562 × 2 - 1) × π
    -0.239959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75385568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444473266601562 × 2 - 1) × π
    0.111053466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.348884755434769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75385568} λ = -0.75385568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348884755434769))-π/2
    2×atan(1.41748582339115)-π/2
    2×0.956405691406557-π/2
    1.91281138281311-1.57079632675     		φ = 0.34201506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75385568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.192749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34201506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.596019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49810 KachelY 58258 -0.75385568 0.34201506 -43.192749 19.596019
    Oben rechts KachelX + 1 49811 KachelY 58258 -0.75380775 0.34201506 -43.190003 19.596019
    Unten links KachelX 49810 KachelY + 1 58259 -0.75385568 0.34196990 -43.192749 19.593432
    Unten rechts KachelX + 1 49811 KachelY + 1 58259 -0.75380775 0.34196990 -43.190003 19.593432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34201506-0.34196990) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34201506-0.34196990) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75385568--0.75380775) × cos(0.34201506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942080755471863 × 6371000     		do = 287.675691914998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75385568--0.75380775) × cos(0.34196990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942095900548431 × 6371000     		du = 287.680316646323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34201506)-sin(0.34196990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942080755471863-0.942095900548431)×R²
    abs(-0.75380775--0.75385568)×1.51450765680794e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51450765680794e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51450765680794e-05×40589641000000     		ar = 82769.0929016953m²