Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49810 / 58256
↖ ↑ ↗
← N 19.601194°
W 43.192749°		 ← 287.67 m → N 19.601194°
W 43.190003°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
N 19.598607°
W 43.192749°		 ← 287.67 m →
82 766 m²		 N 19.598607°
W 43.190003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380023956298828 y=0.444461822509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380023956298828 × 217)
    floor (0.380023956298828 × 131072)
    floor (49810.5)     		tx = 49810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444461822509766 × 217)
    floor (0.444461822509766 × 131072)
    floor (58256.5)     		ty = 58256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49810 / 58256 ti = "17/49810/58256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49810/58256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49810 ÷ 217
    49810 ÷ 131072     		x = 0.380020141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58256 ÷ 217
    58256 ÷ 131072     		y = 0.4444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380020141601562 × 2 - 1) × π
    -0.239959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75385568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    0.111083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.348980629234009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75385568} λ = -0.75385568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348980629234009))-π/2
    2×atan(1.41762172965723)-π/2
    2×0.956450851111115-π/2
    1.91290170222223-1.57079632675     		φ = 0.34210538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75385568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.192749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34210538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.601194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49810 KachelY 58256 -0.75385568 0.34210538 -43.192749 19.601194
    Oben rechts KachelX + 1 49811 KachelY 58256 -0.75380775 0.34210538 -43.190003 19.601194
    Unten links KachelX 49810 KachelY + 1 58257 -0.75385568 0.34206022 -43.192749 19.598607
    Unten rechts KachelX + 1 49811 KachelY + 1 58257 -0.75380775 0.34206022 -43.190003 19.598607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34210538-0.34206022) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34210538-0.34206022) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75385568--0.75380775) × cos(0.34210538) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942050459554847 × 6371000     		do = 287.666440692277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75385568--0.75380775) × cos(0.34206022) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942065608473991 × 6371000     		du = 287.671066596979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34210538)-sin(0.34206022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942050459554847-0.942065608473991)×R²
    abs(-0.75380775--0.75385568)×1.51489191443366e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51489191443366e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51489191443366e-05×40589641000000     		ar = 82766.4313609253m²