Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4981 / 2421
↖ ↑ ↗
← N 77.518374°
W 70.554199°		 ← 528.06 m → N 77.518374°
W 70.532226°		 →
↑
528.16 m
↓
↑
528.16 m
↓
N 77.513624°
W 70.554199°		 ← 528.26 m →
278 949 m²		 N 77.513624°
W 70.532226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304046630859375 y=0.147796630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304046630859375 × 214)
    floor (0.304046630859375 × 16384)
    floor (4981.5)     		tx = 4981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147796630859375 × 214)
    floor (0.147796630859375 × 16384)
    floor (2421.5)     		ty = 2421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4981 / 2421 ti = "14/4981/2421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4981/2421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4981 ÷ 214
    4981 ÷ 16384     		x = 0.30401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2421 ÷ 214
    2421 ÷ 16384     		y = 0.14776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30401611328125 × 2 - 1) × π
    -0.3919677734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.23140308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14776611328125 × 2 - 1) × π
    0.7044677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21315078165875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23140308} λ = -1.23140308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21315078165875))-π/2
    2×atan(9.144483320413)-π/2
    2×1.46187359023871-π/2
    2.92374718047743-1.57079632675     		φ = 1.35295085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23140308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35295085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.518374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4981 KachelY 2421 -1.23140308 1.35295085 -70.554199 77.518374
    Oben rechts KachelX + 1 4982 KachelY 2421 -1.23101958 1.35295085 -70.532226 77.518374
    Unten links KachelX 4981 KachelY + 1 2422 -1.23140308 1.35286795 -70.554199 77.513624
    Unten rechts KachelX + 1 4982 KachelY + 1 2422 -1.23101958 1.35286795 -70.532226 77.513624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35295085-1.35286795) × R
    8.28999999999969e-05 × 6371000     		dl = 528.15589999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35295085-1.35286795) × R
    8.28999999999969e-05 × 6371000     		dr = 528.15589999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23140308--1.23101958) × cos(1.35295085) × R
    0.000383500000000092 × 0.216126524499669 × 6371000     		do = 528.057290589891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23140308--1.23101958) × cos(1.35286795) × R
    0.000383500000000092 × 0.216207464445656 × 6371000     		du = 528.255049419712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35295085)-sin(1.35286795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216126524499669-0.216207464445656)×R²
    abs(-1.23101958--1.23140308)×8.09399459868188e-05×R²
    0.000383500000000092×8.09399459868188e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.09399459868188e-05×40589641000000     		ar = 278948.797469312m²