Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49809 / 58191
↖ ↑ ↗
← N 19.769288°
W 43.195496°		 ← 287.42 m → N 19.769288°
W 43.192749°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
N 19.766704°
W 43.195496°		 ← 287.43 m →
82 605 m²		 N 19.766704°
W 43.192749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380016326904297 y=0.443965911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380016326904297 × 217)
    floor (0.380016326904297 × 131072)
    floor (49809.5)     		tx = 49809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443965911865234 × 217)
    floor (0.443965911865234 × 131072)
    floor (58191.5)     		ty = 58191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49809 / 58191 ti = "17/49809/58191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49809/58191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49809 ÷ 217
    49809 ÷ 131072     		x = 0.380012512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58191 ÷ 217
    58191 ÷ 131072     		y = 0.443962097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380012512207031 × 2 - 1) × π
    -0.239974975585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.75390362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443962097167969 × 2 - 1) × π
    0.112075805664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.352096527709312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75390362} λ = -0.75390362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352096527709312))-π/2
    2×atan(1.42204578391582)-π/2
    2×0.957917748999337-π/2
    1.91583549799867-1.57079632675     		φ = 0.34503917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75390362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.195496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34503917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.769288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49809 KachelY 58191 -0.75390362 0.34503917 -43.195496 19.769288
    Oben rechts KachelX + 1 49810 KachelY 58191 -0.75385568 0.34503917 -43.192749 19.769288
    Unten links KachelX 49809 KachelY + 1 58192 -0.75390362 0.34499406 -43.195496 19.766704
    Unten rechts KachelX + 1 49810 KachelY + 1 58192 -0.75385568 0.34499406 -43.192749 19.766704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34503917-0.34499406) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dl = 287.395810000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34503917-0.34499406) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dr = 287.395810000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75390362--0.75385568) × cos(0.34503917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941062204720728 × 6371000     		do = 287.424620262671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75390362--0.75385568) × cos(0.34499406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941077461478174 × 6371000     		du = 287.429280069104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34503917)-sin(0.34499406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941062204720728-0.941077461478174)×R²
    abs(-0.75385568--0.75390362)×1.52567574458473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52567574458473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52567574458473e-05×40589641000000     		ar = 82605.3011728413m²