Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49808 / 57775
↖ ↑ ↗
← N 20.840845°
W 43.198242°		 ← 285.44 m → N 20.840845°
W 43.195496°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
N 20.838278°
W 43.198242°		 ← 285.45 m →
81 472 m²		 N 20.838278°
W 43.195496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380008697509766 y=0.440792083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380008697509766 × 217)
    floor (0.380008697509766 × 131072)
    floor (49808.5)     		tx = 49808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440792083740234 × 217)
    floor (0.440792083740234 × 131072)
    floor (57775.5)     		ty = 57775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49808 / 57775 ti = "17/49808/57775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49808/57775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49808 ÷ 217
    49808 ÷ 131072     		x = 0.3800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57775 ÷ 217
    57775 ÷ 131072     		y = 0.440788269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75395156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440788269042969 × 2 - 1) × π
    0.118423461914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.372038277951256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75395156} λ = -0.75395156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372038277951256))-π/2
    2×atan(1.45068850961446)-π/2
    2×0.96726884291306-π/2
    1.93453768582612-1.57079632675     		φ = 0.36374136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75395156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.198242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36374136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.840845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49808 KachelY 57775 -0.75395156 0.36374136 -43.198242 20.840845
    Oben rechts KachelX + 1 49809 KachelY 57775 -0.75390362 0.36374136 -43.195496 20.840845
    Unten links KachelX 49808 KachelY + 1 57776 -0.75395156 0.36369656 -43.198242 20.838278
    Unten rechts KachelX + 1 49809 KachelY + 1 57776 -0.75390362 0.36369656 -43.195496 20.838278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36374136-0.36369656) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36374136-0.36369656) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75395156--0.75390362) × cos(0.36374136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93457229179856 × 6371000     		do = 285.442433805884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75395156--0.75390362) × cos(0.36369656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934588229503929 × 6371000     		du = 285.44730159134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36374136)-sin(0.36369656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93457229179856-0.934588229503929)×R²
    abs(-0.75390362--0.75395156)×1.59377053688958e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59377053688958e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59377053688958e-05×40589641000000     		ar = 81471.9025080288m²