Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49807 / 58255
↖ ↑ ↗
← N 19.603781°
W 43.200989°		 ← 287.66 m → N 19.603781°
W 43.198242°		 →
↑
287.65 m
↓
↑
287.65 m
↓
N 19.601194°
W 43.200989°		 ← 287.67 m →
82 747 m²		 N 19.601194°
W 43.198242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380001068115234 y=0.444454193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380001068115234 × 217)
    floor (0.380001068115234 × 131072)
    floor (49807.5)     		tx = 49807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444454193115234 × 217)
    floor (0.444454193115234 × 131072)
    floor (58255.5)     		ty = 58255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49807 / 58255 ti = "17/49807/58255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49807/58255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49807 ÷ 217
    49807 ÷ 131072     		x = 0.379997253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58255 ÷ 217
    58255 ÷ 131072     		y = 0.444450378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379997253417969 × 2 - 1) × π
    -0.240005493164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.75399949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444450378417969 × 2 - 1) × π
    0.111099243164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.349028566133629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75399949} λ = -0.75399949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349028566133629))-π/2
    2×atan(1.41768968767662)-π/2
    2×0.956473430418748-π/2
    1.9129468608375-1.57079632675     		φ = 0.34215053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75399949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.200989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34215053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.603781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49807 KachelY 58255 -0.75399949 0.34215053 -43.200989 19.603781
    Oben rechts KachelX + 1 49808 KachelY 58255 -0.75395156 0.34215053 -43.198242 19.603781
    Unten links KachelX 49807 KachelY + 1 58256 -0.75399949 0.34210538 -43.200989 19.601194
    Unten rechts KachelX + 1 49808 KachelY + 1 58256 -0.75395156 0.34210538 -43.198242 19.601194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34215053-0.34210538) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dl = 287.650649999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34215053-0.34210538) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dr = 287.650649999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75399949--0.75395156) × cos(0.34215053) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942035312069598 × 6371000     		do = 287.661815225432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75399949--0.75395156) × cos(0.34210538) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942050459554847 × 6371000     		du = 287.666440692277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34215053)-sin(0.34210538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942035312069598-0.942050459554847)×R²
    abs(-0.75395156--0.75399949)×1.51474852487787e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51474852487787e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51474852487787e-05×40589641000000     		ar = 82746.7734031218m²