Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49806 / 50352
↖ ↑ ↗
← S 69.005675°
E 93.592529°		 ← 218.85 m → S 69.005675°
E 93.598023°		 →
↑
218.84 m
↓
↑
218.84 m
↓
S 69.007643°
E 93.592529°		 ← 218.83 m →
47 893 m²		 S 69.007643°
E 93.598023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759986877441406 y=0.768318176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759986877441406 × 216)
    floor (0.759986877441406 × 65536)
    floor (49806.5)     		tx = 49806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768318176269531 × 216)
    floor (0.768318176269531 × 65536)
    floor (50352.5)     		ty = 50352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49806 / 50352 ti = "16/49806/50352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49806/50352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49806 ÷ 216
    49806 ÷ 65536     		x = 0.759979248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50352 ÷ 216
    50352 ÷ 65536     		y = 0.768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759979248046875 × 2 - 1) × π
    0.51995849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63349779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.53662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68584488583813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63349779} λ = 1.63349779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68584488583813))-π/2
    2×atan(0.185287818751106)-π/2
    2×0.183210046034955-π/2
    0.366420092069911-1.57079632675     		φ = -1.20437623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63349779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.592529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20437623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.005675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49806 KachelY 50352 1.63349779 -1.20437623 93.592529 -69.005675
    Oben rechts KachelX + 1 49807 KachelY 50352 1.63359367 -1.20437623 93.598023 -69.005675
    Unten links KachelX 49806 KachelY + 1 50353 1.63349779 -1.20441058 93.592529 -69.007643
    Unten rechts KachelX + 1 49807 KachelY + 1 50353 1.63359367 -1.20441058 93.598023 -69.007643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20437623--1.20441058) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dl = 218.84384999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20437623--1.20441058) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dr = 218.84384999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63349779-1.63359367) × cos(-1.20437623) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.358275480265027 × 6371000     		do = 218.853107367459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63349779-1.63359367) × cos(-1.20441058) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.35824341034692 × 6371000     		du = 218.83351741052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20437623)-sin(-1.20441058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358275480265027-0.35824341034692)×R²
    abs(1.63359367-1.63349779)×3.20699181068917e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.20699181068917e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.20699181068917e-05×40589641000000     		ar = 47892.5130346949m²