Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49804 / 53636
↖ ↑ ↗
← N 31.043521°
W 43.209228°		 ← 261.63 m → N 31.043521°
W 43.206482°		 →
↑
261.66 m
↓
↑
261.66 m
↓
N 31.041168°
W 43.209228°		 ← 261.63 m →
68 457 m²		 N 31.041168°
W 43.206482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379978179931641 y=0.409214019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379978179931641 × 217)
    floor (0.379978179931641 × 131072)
    floor (49804.5)     		tx = 49804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409214019775391 × 217)
    floor (0.409214019775391 × 131072)
    floor (53636.5)     		ty = 53636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49804 / 53636 ti = "17/49804/53636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49804/53636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49804 ÷ 217
    49804 ÷ 131072     		x = 0.379974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53636 ÷ 217
    53636 ÷ 131072     		y = 0.409210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.24005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75414330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409210205078125 × 2 - 1) × π
    0.18157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.570449105478668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75414330} λ = -0.75414330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.570449105478668))-π/2
    2×atan(1.76906136820694)-π/2
    2×1.05630399532522-π/2
    2.11260799065045-1.57079632675     		φ = 0.54181166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75414330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.209228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54181166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.043521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49804 KachelY 53636 -0.75414330 0.54181166 -43.209228 31.043521
    Oben rechts KachelX + 1 49805 KachelY 53636 -0.75409537 0.54181166 -43.206482 31.043521
    Unten links KachelX 49804 KachelY + 1 53637 -0.75414330 0.54177059 -43.209228 31.041168
    Unten rechts KachelX + 1 49805 KachelY + 1 53637 -0.75409537 0.54177059 -43.206482 31.041168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54181166-0.54177059) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dl = 261.65696999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54181166-0.54177059) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dr = 261.65696999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75414330--0.75409537) × cos(0.54181166) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.856775834715127 × 6371000     		do = 261.62680814311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75414330--0.75409537) × cos(0.54177059) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.856797013340738 × 6371000     		du = 261.633275291219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54181166)-sin(0.54177059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856775834715127-0.856797013340738)×R²
    abs(-0.75409537--0.75414330)×2.11786256115731e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.11786256115731e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.11786256115731e-05×40589641000000     		ar = 68457.3239862252m²