Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49804 / 50430
↖ ↑ ↗
← S 69.158650°
E 93.581543°		 ← 217.33 m → S 69.158650°
E 93.587036°		 →
↑
217.31 m
↓
↑
217.31 m
↓
S 69.160604°
E 93.581543°		 ← 217.31 m →
47 227 m²		 S 69.160604°
E 93.587036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759956359863281 y=0.769508361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759956359863281 × 216)
    floor (0.759956359863281 × 65536)
    floor (49804.5)     		tx = 49804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769508361816406 × 216)
    floor (0.769508361816406 × 65536)
    floor (50430.5)     		ty = 50430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49804 / 50430 ti = "16/49804/50430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49804/50430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49804 ÷ 216
    49804 ÷ 65536     		x = 0.75994873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50430 ÷ 216
    50430 ÷ 65536     		y = 0.769500732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75994873046875 × 2 - 1) × π
    0.5198974609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63330604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.53900146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69332304217886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63330604} λ = 1.63330604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69332304217886))-π/2
    2×atan(0.183907375492889)-π/2
    2×0.181875093178581-π/2
    0.363750186357163-1.57079632675     		φ = -1.20704614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63330604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.581543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20704614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.158650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49804 KachelY 50430 1.63330604 -1.20704614 93.581543 -69.158650
    Oben rechts KachelX + 1 49805 KachelY 50430 1.63340192 -1.20704614 93.587036 -69.158650
    Unten links KachelX 49804 KachelY + 1 50431 1.63330604 -1.20708025 93.581543 -69.160604
    Unten rechts KachelX + 1 49805 KachelY + 1 50431 1.63340192 -1.20708025 93.587036 -69.160604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20704614--1.20708025) × R
    3.41099999998651e-05 × 6371000     		dl = 217.31480999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20704614--1.20708025) × R
    3.41099999998651e-05 × 6371000     		dr = 217.31480999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63330604-1.63340192) × cos(-1.20704614) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.355781535785686 × 6371000     		do = 217.32967769172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63330604-1.63340192) × cos(-1.20708025) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.355749657424963 × 6371000     		du = 217.310204747892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20704614)-sin(-1.20708025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355781535785686-0.355749657424963)×R²
    abs(1.63340192-1.63330604)×3.18783607232698e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.18783607232698e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.18783607232698e-05×40589641000000     		ar = 47226.8417399606m²