Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49802 / 50331
↖ ↑ ↗
← S 68.964307°
E 93.570557°		 ← 219.24 m → S 68.964307°
E 93.576050°		 →
↑
219.23 m
↓
↑
219.23 m
↓
S 68.966278°
E 93.570557°		 ← 219.22 m →
48 061 m²		 S 68.966278°
E 93.576050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759925842285156 y=0.767997741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759925842285156 × 216)
    floor (0.759925842285156 × 65536)
    floor (49802.5)     		tx = 49802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767997741699219 × 216)
    floor (0.767997741699219 × 65536)
    floor (50331.5)     		ty = 50331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49802 / 50331 ti = "16/49802/50331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49802/50331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49802 ÷ 216
    49802 ÷ 65536     		x = 0.759918212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50331 ÷ 216
    50331 ÷ 65536     		y = 0.767990112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759918212890625 × 2 - 1) × π
    0.51983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63311430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767990112304688 × 2 - 1) × π
    -0.535980224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68383153605409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63311430} λ = 1.63311430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68383153605409))-π/2
    2×atan(0.185661243732385)-π/2
    2×0.183571052114044-π/2
    0.367142104228087-1.57079632675     		φ = -1.20365422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63311430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.570557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20365422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.964307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49802 KachelY 50331 1.63311430 -1.20365422 93.570557 -68.964307
    Oben rechts KachelX + 1 49803 KachelY 50331 1.63321017 -1.20365422 93.576050 -68.964307
    Unten links KachelX 49802 KachelY + 1 50332 1.63311430 -1.20368863 93.570557 -68.966278
    Unten rechts KachelX + 1 49803 KachelY + 1 50332 1.63321017 -1.20368863 93.576050 -68.966278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20365422--1.20368863) × R
    3.44100000000402e-05 × 6371000     		dl = 219.226110000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20365422--1.20368863) × R
    3.44100000000402e-05 × 6371000     		dr = 219.226110000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63311430-1.63321017) × cos(-1.20365422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358949466850383 × 6371000     		do = 219.24194440023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63311430-1.63321017) × cos(-1.20368863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358917349823682 × 6371000     		du = 219.222327713112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20365422)-sin(-1.20368863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358949466850383-0.358917349823682)×R²
    abs(1.63321017-1.63311430)×3.21170267008064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21170267008064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21170267008064e-05×40589641000000     		ar = 48061.4083794212m²