Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4980 / 5165
↖ ↑ ↗
← S 42.455888°
E 38.847656°		 ← 3 605.24 m → S 42.455888°
E 38.891602°		 →
↑
3 604.27 m
↓
↑
3 604.27 m
↓
S 42.488302°
E 38.847656°		 ← 3 603.37 m →
12 990 885 m²		 S 42.488302°
E 38.891602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60797119140625 y=0.63055419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60797119140625 × 213)
    floor (0.60797119140625 × 8192)
    floor (4980.5)     		tx = 4980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63055419921875 × 213)
    floor (0.63055419921875 × 8192)
    floor (5165.5)     		ty = 5165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4980 / 5165 ti = "13/4980/5165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4980/5165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4980 ÷ 213
    4980 ÷ 8192     		x = 0.60791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5165 ÷ 213
    5165 ÷ 8192     		y = 0.6304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60791015625 × 2 - 1) × π
    0.2158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67801951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6304931640625 × 2 - 1) × π
    -0.260986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.81991273110144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67801951} λ = 0.67801951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81991273110144))-π/2
    2×atan(0.440470092168561)-π/2
    2×0.414900650301505-π/2
    0.82980130060301-1.57079632675     		φ = -0.74099503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67801951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.847656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74099503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.455888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4980 KachelY 5165 0.67801951 -0.74099503 38.847656 -42.455888
    Oben rechts KachelX + 1 4981 KachelY 5165 0.67878650 -0.74099503 38.891602 -42.455888
    Unten links KachelX 4980 KachelY + 1 5166 0.67801951 -0.74156076 38.847656 -42.488302
    Unten rechts KachelX + 1 4981 KachelY + 1 5166 0.67878650 -0.74156076 38.891602 -42.488302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74099503--0.74156076) × R
    0.000565730000000042 × 6371000     		dl = 3604.26583000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74099503--0.74156076) × R
    0.000565730000000042 × 6371000     		dr = 3604.26583000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67801951-0.67878650) × cos(-0.74099503) × R
    0.000766989999999912 × 0.737797256566414 × 6371000     		do = 3605.24134359177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67801951-0.67878650) × cos(-0.74156076) × R
    0.000766989999999912 × 0.737415258111804 × 6371000     		du = 3603.37471070653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74099503)-sin(-0.74156076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737797256566414-0.737415258111804)×R²
    abs(0.67878650-0.67801951)×0.000381998454609844×R²
    0.000766989999999912×0.000381998454609844×6371000²
    0.000766989999999912×0.000381998454609844×40589641000000     		ar = 12990884.6095272m²