Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49798 / 58279
↖ ↑ ↗
← N 19.541673°
W 43.225708°		 ← 287.83 m → N 19.541673°
W 43.222961°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
N 19.539084°
W 43.225708°		 ← 287.84 m →
82 851 m²		 N 19.539084°
W 43.222961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379932403564453 y=0.444637298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379932403564453 × 217)
    floor (0.379932403564453 × 131072)
    floor (49798.5)     		tx = 49798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444637298583984 × 217)
    floor (0.444637298583984 × 131072)
    floor (58279.5)     		ty = 58279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49798 / 58279 ti = "17/49798/58279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49798/58279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49798 ÷ 217
    49798 ÷ 131072     		x = 0.379928588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58279 ÷ 217
    58279 ÷ 131072     		y = 0.444633483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379928588867188 × 2 - 1) × π
    -0.240142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75443093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444633483886719 × 2 - 1) × π
    0.110733032226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.347878080542747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75443093} λ = -0.75443093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347878080542747))-π/2
    2×atan(1.41605959399805)-π/2
    2×0.955931426898367-π/2
    1.91186285379673-1.57079632675     		φ = 0.34106653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75443093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.225708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34106653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.541673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49798 KachelY 58279 -0.75443093 0.34106653 -43.225708 19.541673
    Oben rechts KachelX + 1 49799 KachelY 58279 -0.75438299 0.34106653 -43.222961 19.541673
    Unten links KachelX 49798 KachelY + 1 58280 -0.75443093 0.34102135 -43.225708 19.539084
    Unten rechts KachelX + 1 49799 KachelY + 1 58280 -0.75438299 0.34102135 -43.222961 19.539084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34106653-0.34102135) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dl = 287.84177999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34106653-0.34102135) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dr = 287.84177999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75443093--0.75438299) × cos(0.34106653) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.942398455422215 × 6371000     		do = 287.832745622665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75443093--0.75438299) × cos(0.34102135) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.942413566826039 × 6371000     		du = 287.83736103436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34106653)-sin(0.34102135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942398455422215-0.942413566826039)×R²
    abs(-0.75438299--0.75443093)×1.51114038244859e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51114038244859e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51114038244859e-05×40589641000000     		ar = 82850.9541105117m²