Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49798 / 50345
↖ ↑ ↗
← S 68.991894°
E 93.548584°		 ← 218.97 m → S 68.991894°
E 93.554077°		 →
↑
218.97 m
↓
↑
218.97 m
↓
S 68.993863°
E 93.548584°		 ← 218.95 m →
47 945 m²		 S 68.993863°
E 93.554077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759864807128906 y=0.768211364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759864807128906 × 216)
    floor (0.759864807128906 × 65536)
    floor (49798.5)     		tx = 49798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768211364746094 × 216)
    floor (0.768211364746094 × 65536)
    floor (50345.5)     		ty = 50345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49798 / 50345 ti = "16/49798/50345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49798/50345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49798 ÷ 216
    49798 ÷ 65536     		x = 0.759857177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50345 ÷ 216
    50345 ÷ 65536     		y = 0.768203735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759857177734375 × 2 - 1) × π
    0.51971435546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63273080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768203735351562 × 2 - 1) × π
    -0.536407470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68517376924345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63273080} λ = 1.63273080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68517376924345))-π/2
    2×atan(0.185412210216982)-π/2
    2×0.183330306013873-π/2
    0.366660612027747-1.57079632675     		φ = -1.20413571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63273080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.548584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20413571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.991894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49798 KachelY 50345 1.63273080 -1.20413571 93.548584 -68.991894
    Oben rechts KachelX + 1 49799 KachelY 50345 1.63282667 -1.20413571 93.554077 -68.991894
    Unten links KachelX 49798 KachelY + 1 50346 1.63273080 -1.20417008 93.548584 -68.993863
    Unten rechts KachelX + 1 49799 KachelY + 1 50346 1.63282667 -1.20417008 93.554077 -68.993863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20413571--1.20417008) × R
    3.43699999998393e-05 × 6371000     		dl = 218.971269998976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20413571--1.20417008) × R
    3.43699999998393e-05 × 6371000     		dr = 218.971269998976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63273080-1.63282667) × cos(-1.20413571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358500023200094 × 6371000     		do = 218.967429715329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63273080-1.63282667) × cos(-1.20417008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358467937571964 × 6371000     		du = 218.947832206074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20413571)-sin(-1.20417008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358500023200094-0.358467937571964)×R²
    abs(1.63282667-1.63273080)×3.20856281298409e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.20856281298409e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.20856281298409e-05×40589641000000     		ar = 47945.430531922m²