Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49797 / 59014
↖ ↑ ↗
← N 17.628317°
W 43.228454°		 ← 291.02 m → N 17.628317°
W 43.225708°		 →
↑
291.03 m
↓
↑
291.03 m
↓
N 17.625700°
W 43.228454°		 ← 291.03 m →
84 696 m²		 N 17.625700°
W 43.225708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379924774169922 y=0.450244903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379924774169922 × 217)
    floor (0.379924774169922 × 131072)
    floor (49797.5)     		tx = 49797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450244903564453 × 217)
    floor (0.450244903564453 × 131072)
    floor (59014.5)     		ty = 59014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49797 / 59014 ti = "17/49797/59014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49797/59014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49797 ÷ 217
    49797 ÷ 131072     		x = 0.379920959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59014 ÷ 217
    59014 ÷ 131072     		y = 0.450241088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379920959472656 × 2 - 1) × π
    -0.240158081054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.75447886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450241088867188 × 2 - 1) × π
    0.099517822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.312644459322006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75447886} λ = -0.75447886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312644459322006))-π/2
    2×atan(1.36703540791868)-π/2
    2×0.939234250695824-π/2
    1.87846850139165-1.57079632675     		φ = 0.30767217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75447886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.228454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30767217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.628317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49797 KachelY 59014 -0.75447886 0.30767217 -43.228454 17.628317
    Oben rechts KachelX + 1 49798 KachelY 59014 -0.75443093 0.30767217 -43.225708 17.628317
    Unten links KachelX 49797 KachelY + 1 59015 -0.75447886 0.30762649 -43.228454 17.625700
    Unten rechts KachelX + 1 49798 KachelY + 1 59015 -0.75443093 0.30762649 -43.225708 17.625700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30767217-0.30762649) × R
    4.56800000000479e-05 × 6371000     		dl = 291.027280000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30767217-0.30762649) × R
    4.56800000000479e-05 × 6371000     		dr = 291.027280000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75447886--0.75443093) × cos(0.30767217) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.953041113642207 × 6371000     		do = 291.022569134749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75447886--0.75443093) × cos(0.30762649) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.953054946422062 × 6371000     		du = 291.026793140486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30767217)-sin(0.30762649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953041113642207-0.953054946422062)×R²
    abs(-0.75443093--0.75447886)×1.38327798547833e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.38327798547833e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.38327798547833e-05×40589641000000     		ar = 84696.1213792144m²