Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49797 / 58251
↖ ↑ ↗
← N 19.614131°
W 43.228454°		 ← 287.64 m → N 19.614131°
W 43.225708°		 →
↑
287.65 m
↓
↑
287.65 m
↓
N 19.611544°
W 43.228454°		 ← 287.65 m →
82 741 m²		 N 19.611544°
W 43.225708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379924774169922 y=0.444423675537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379924774169922 × 217)
    floor (0.379924774169922 × 131072)
    floor (49797.5)     		tx = 49797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444423675537109 × 217)
    floor (0.444423675537109 × 131072)
    floor (58251.5)     		ty = 58251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49797 / 58251 ti = "17/49797/58251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49797/58251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49797 ÷ 217
    49797 ÷ 131072     		x = 0.379920959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58251 ÷ 217
    58251 ÷ 131072     		y = 0.444419860839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379920959472656 × 2 - 1) × π
    -0.240158081054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.75447886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444419860839844 × 2 - 1) × π
    0.111160278320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.349220313732109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75447886} λ = -0.75447886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349220313732109))-π/2
    2×atan(1.41796155233349)-π/2
    2×0.956563744017367-π/2
    1.91312748803473-1.57079632675     		φ = 0.34233116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75447886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.228454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34233116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.614131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49797 KachelY 58251 -0.75447886 0.34233116 -43.228454 19.614131
    Oben rechts KachelX + 1 49798 KachelY 58251 -0.75443093 0.34233116 -43.225708 19.614131
    Unten links KachelX 49797 KachelY + 1 58252 -0.75447886 0.34228601 -43.228454 19.611544
    Unten rechts KachelX + 1 49798 KachelY + 1 58252 -0.75443093 0.34228601 -43.225708 19.611544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34233116-0.34228601) × R
    4.51500000000493e-05 × 6371000     		dl = 287.650650000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34233116-0.34228601) × R
    4.51500000000493e-05 × 6371000     		dr = 287.650650000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75447886--0.75443093) × cos(0.34233116) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.941974692854793 × 6371000     		do = 287.643304418276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75447886--0.75443093) × cos(0.34228601) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.941989848022573 × 6371000     		du = 287.647932231074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34233116)-sin(0.34228601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941974692854793-0.941989848022573)×R²
    abs(-0.75443093--0.75447886)×1.51551677800565e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.51551677800565e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.51551677800565e-05×40589641000000     		ar = 82741.449094893m²