Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49794 / 83356
↖ ↑ ↗
← S 43.889975°
W 43.236694°		 ← 220.07 m → S 43.889975°
W 43.233948°		 →
↑
220.12 m
↓
↑
220.12 m
↓
S 43.891955°
W 43.236694°		 ← 220.06 m →
48 440 m²		 S 43.891955°
W 43.233948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379901885986328 y=0.635959625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379901885986328 × 217)
    floor (0.379901885986328 × 131072)
    floor (49794.5)     		tx = 49794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635959625244141 × 217)
    floor (0.635959625244141 × 131072)
    floor (83356.5)     		ty = 83356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49794 / 83356 ti = "17/49794/83356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49794/83356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49794 ÷ 217
    49794 ÷ 131072     		x = 0.379898071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83356 ÷ 217
    83356 ÷ 131072     		y = 0.635955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379898071289062 × 2 - 1) × π
    -0.240203857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75462267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635955810546875 × 2 - 1) × π
    -0.27191162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.854235551229401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75462267} λ = -0.75462267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854235551229401))-π/2
    2×atan(0.425608422590429)-π/2
    2×0.402385873959905-π/2
    0.80477174791981-1.57079632675     		φ = -0.76602458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75462267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.236694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76602458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.889975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49794 KachelY 83356 -0.75462267 -0.76602458 -43.236694 -43.889975
    Oben rechts KachelX + 1 49795 KachelY 83356 -0.75457474 -0.76602458 -43.233948 -43.889975
    Unten links KachelX 49794 KachelY + 1 83357 -0.75462267 -0.76605913 -43.236694 -43.891955
    Unten rechts KachelX + 1 49795 KachelY + 1 83357 -0.75457474 -0.76605913 -43.233948 -43.891955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76602458--0.76605913) × R
    3.45500000000776e-05 × 6371000     		dl = 220.118050000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76602458--0.76605913) × R
    3.45500000000776e-05 × 6371000     		dr = 220.118050000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75462267--0.75457474) × cos(-0.76602458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.720672419362118 × 6371000     		do = 220.065992941562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75462267--0.75457474) × cos(-0.76605913) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.720648466254865 × 6371000     		du = 220.058678572107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76602458)-sin(-0.76605913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720672419362118-0.720648466254865)×R²
    abs(-0.75457474--0.75462267)×2.39531072528942e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39531072528942e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39531072528942e-05×40589641000000     		ar = 48439.6922302107m²