Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49794 / 58070
↖ ↑ ↗
← N 20.081730°
W 43.236694°		 ← 286.80 m → N 20.081730°
W 43.233948°		 →
↑
286.89 m
↓
↑
286.89 m
↓
N 20.079150°
W 43.236694°		 ← 286.80 m →
82 279 m²		 N 20.079150°
W 43.233948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379901885986328 y=0.443042755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379901885986328 × 217)
    floor (0.379901885986328 × 131072)
    floor (49794.5)     		tx = 49794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443042755126953 × 217)
    floor (0.443042755126953 × 131072)
    floor (58070.5)     		ty = 58070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49794 / 58070 ti = "17/49794/58070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49794/58070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49794 ÷ 217
    49794 ÷ 131072     		x = 0.379898071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58070 ÷ 217
    58070 ÷ 131072     		y = 0.443038940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379898071289062 × 2 - 1) × π
    -0.240203857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75462267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443038940429688 × 2 - 1) × π
    0.113922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.357896892563339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75462267} λ = -0.75462267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357896892563339))-π/2
    2×atan(1.43031813644002)-π/2
    2×0.960644312067403-π/2
    1.92128862413481-1.57079632675     		φ = 0.35049230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75462267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.236694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35049230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.081730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49794 KachelY 58070 -0.75462267 0.35049230 -43.236694 20.081730
    Oben rechts KachelX + 1 49795 KachelY 58070 -0.75457474 0.35049230 -43.233948 20.081730
    Unten links KachelX 49794 KachelY + 1 58071 -0.75462267 0.35044727 -43.236694 20.079150
    Unten rechts KachelX + 1 49795 KachelY + 1 58071 -0.75457474 0.35044727 -43.233948 20.079150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35049230-0.35044727) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dl = 286.886130000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35049230-0.35044727) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dr = 286.886130000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75462267--0.75457474) × cos(0.35049230) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939203790430738 × 6371000     		do = 286.7971760298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75462267--0.75457474) × cos(0.35044727) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939219250989185 × 6371000     		du = 286.801897097313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35049230)-sin(0.35044727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939203790430738-0.939219250989185)×R²
    abs(-0.75457474--0.75462267)×1.54605584473666e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54605584473666e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54605584473666e-05×40589641000000     		ar = 82278.8091444408m²