Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49793 / 83358
↖ ↑ ↗
← S 43.893934°
W 43.239441°		 ← 220.10 m → S 43.893934°
W 43.236694°		 →
↑
220.05 m
↓
↑
220.05 m
↓
S 43.895913°
W 43.239441°		 ← 220.09 m →
48 433 m²		 S 43.895913°
W 43.236694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379894256591797 y=0.635974884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379894256591797 × 217)
    floor (0.379894256591797 × 131072)
    floor (49793.5)     		tx = 49793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635974884033203 × 217)
    floor (0.635974884033203 × 131072)
    floor (83358.5)     		ty = 83358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49793 / 83358 ti = "17/49793/83358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49793/83358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49793 ÷ 217
    49793 ÷ 131072     		x = 0.379890441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83358 ÷ 217
    83358 ÷ 131072     		y = 0.635971069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379890441894531 × 2 - 1) × π
    -0.240219116210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.75467061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635971069335938 × 2 - 1) × π
    -0.271942138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.854331425028641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75467061} λ = -0.75467061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854331425028641))-π/2
    2×atan(0.425567619849954)-π/2
    2×0.402351328306554-π/2
    0.804702656613109-1.57079632675     		φ = -0.76609367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75467061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.239441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76609367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.893934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49793 KachelY 83358 -0.75467061 -0.76609367 -43.239441 -43.893934
    Oben rechts KachelX + 1 49794 KachelY 83358 -0.75462267 -0.76609367 -43.236694 -43.893934
    Unten links KachelX 49793 KachelY + 1 83359 -0.75467061 -0.76612821 -43.239441 -43.895913
    Unten rechts KachelX + 1 49794 KachelY + 1 83359 -0.75462267 -0.76612821 -43.236694 -43.895913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76609367--0.76612821) × R
    3.45400000000273e-05 × 6371000     		dl = 220.054340000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76609367--0.76612821) × R
    3.45400000000273e-05 × 6371000     		dr = 220.054340000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75467061--0.75462267) × cos(-0.76609367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.720624519220628 × 6371000     		do = 220.09727704496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75467061--0.75462267) × cos(-0.76612821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.720600571326677 × 6371000     		du = 220.089962741729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76609367)-sin(-0.76612821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720624519220628-0.720600571326677)×R²
    abs(-0.75462267--0.75467061)×2.39478939507709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39478939507709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39478939507709e-05×40589641000000     		ar = 48432.5562686018m²