Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49792 / 83360
↖ ↑ ↗
← S 43.897893°
W 43.242188°		 ← 220.08 m → S 43.897893°
W 43.239441°		 →
↑
220.05 m
↓
↑
220.05 m
↓
S 43.899872°
W 43.242188°		 ← 220.08 m →
48 429 m²		 S 43.899872°
W 43.239441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379886627197266 y=0.635990142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379886627197266 × 217)
    floor (0.379886627197266 × 131072)
    floor (49792.5)     		tx = 49792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635990142822266 × 217)
    floor (0.635990142822266 × 131072)
    floor (83360.5)     		ty = 83360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49792 / 83360 ti = "17/49792/83360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49792/83360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49792 ÷ 217
    49792 ÷ 131072     		x = 0.3798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83360 ÷ 217
    83360 ÷ 131072     		y = 0.635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.27197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.854427298827881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75471855} λ = -0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854427298827881))-π/2
    2×atan(0.425526821021206)-π/2
    2×0.402316784949438-π/2
    0.804633569898876-1.57079632675     		φ = -0.76616276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76616276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.897893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49792 KachelY 83360 -0.75471855 -0.76616276 -43.242188 -43.897893
    Oben rechts KachelX + 1 49793 KachelY 83360 -0.75467061 -0.76616276 -43.239441 -43.897893
    Unten links KachelX 49792 KachelY + 1 83361 -0.75471855 -0.76619730 -43.242188 -43.899872
    Unten rechts KachelX + 1 49793 KachelY + 1 83361 -0.75467061 -0.76619730 -43.239441 -43.899872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76616276--0.76619730) × R
    3.45399999999163e-05 × 6371000     		dl = 220.054339999467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76616276--0.76619730) × R
    3.45399999999163e-05 × 6371000     		dr = 220.054339999467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75471855--0.75467061) × cos(-0.76616276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.720576615639288 × 6371000     		do = 220.082646058181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75471855--0.75467061) × cos(-0.76619730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.720552666025748 × 6371000     		du = 220.075331229742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76616276)-sin(-0.76619730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720576615639288-0.720552666025748)×R²
    abs(-0.75467061--0.75471855)×2.39496135406858e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39496135406858e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39496135406858e-05×40589641000000     		ar = 48429.3365985886m²