Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49791 / 82817
↖ ↑ ↗
← S 42.813537°
W 43.244934°		 ← 224 m → S 42.813537°
W 43.242188°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
S 42.815551°
W 43.244934°		 ← 224 m →
50 177 m²		 S 42.815551°
W 43.242188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379878997802734 y=0.631847381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379878997802734 × 217)
    floor (0.379878997802734 × 131072)
    floor (49791.5)     		tx = 49791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631847381591797 × 217)
    floor (0.631847381591797 × 131072)
    floor (82817.5)     		ty = 82817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49791 / 82817 ti = "17/49791/82817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49791/82817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49791 ÷ 217
    49791 ÷ 131072     		x = 0.379875183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82817 ÷ 217
    82817 ÷ 131072     		y = 0.631843566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379875183105469 × 2 - 1) × π
    -0.240249633789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.75476648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631843566894531 × 2 - 1) × π
    -0.263687133789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.82839756233419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75476648} λ = -0.75476648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82839756233419))-π/2
    2×atan(0.436748588266335)-π/2
    2×0.41177957447973-π/2
    0.82355914895946-1.57079632675     		φ = -0.74723718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75476648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.244934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74723718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.813537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49791 KachelY 82817 -0.75476648 -0.74723718 -43.244934 -42.813537
    Oben rechts KachelX + 1 49792 KachelY 82817 -0.75471855 -0.74723718 -43.242188 -42.813537
    Unten links KachelX 49791 KachelY + 1 82818 -0.75476648 -0.74727234 -43.244934 -42.815551
    Unten rechts KachelX + 1 49792 KachelY + 1 82818 -0.75471855 -0.74727234 -43.242188 -42.815551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74723718--0.74727234) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dl = 224.004360000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74723718--0.74727234) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dr = 224.004360000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75476648--0.75471855) × cos(-0.74723718) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.733569319124355 × 6371000     		do = 224.004216433668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75476648--0.75471855) × cos(-0.74727234) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.733545423420315 × 6371000     		du = 223.996919592974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74723718)-sin(-0.74727234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733569319124355-0.733545423420315)×R²
    abs(-0.75471855--0.75476648)×2.38957040402665e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38957040402665e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38957040402665e-05×40589641000000     		ar = 50177.1038827649m²