Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49790 / 82818
↖ ↑ ↗
← S 42.815551°
W 43.247681°		 ← 224.04 m → S 42.815551°
W 43.244934°		 →
↑
224.07 m
↓
↑
224.07 m
↓
S 42.817566°
W 43.247681°		 ← 224.04 m →
50 200 m²		 S 42.817566°
W 43.244934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379871368408203 y=0.631855010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379871368408203 × 217)
    floor (0.379871368408203 × 131072)
    floor (49790.5)     		tx = 49790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631855010986328 × 217)
    floor (0.631855010986328 × 131072)
    floor (82818.5)     		ty = 82818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49790 / 82818 ti = "17/49790/82818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49790/82818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49790 ÷ 217
    49790 ÷ 131072     		x = 0.379867553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82818 ÷ 217
    82818 ÷ 131072     		y = 0.631851196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379867553710938 × 2 - 1) × π
    -0.240264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75481442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631851196289062 × 2 - 1) × π
    -0.263702392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.82844549923381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75481442} λ = -0.75481442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82844549923381))-π/2
    2×atan(0.436727652394905)-π/2
    2×0.411761992246695-π/2
    0.823523984493389-1.57079632675     		φ = -0.74727234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75481442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.247681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74727234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.815551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49790 KachelY 82818 -0.75481442 -0.74727234 -43.247681 -42.815551
    Oben rechts KachelX + 1 49791 KachelY 82818 -0.75476648 -0.74727234 -43.244934 -42.815551
    Unten links KachelX 49790 KachelY + 1 82819 -0.75481442 -0.74730751 -43.247681 -42.817566
    Unten rechts KachelX + 1 49791 KachelY + 1 82819 -0.75476648 -0.74730751 -43.244934 -42.817566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74727234--0.74730751) × R
    3.51699999999733e-05 × 6371000     		dl = 224.06806999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74727234--0.74730751) × R
    3.51699999999733e-05 × 6371000     		dr = 224.06806999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75481442--0.75476648) × cos(-0.74727234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733545423420315 × 6371000     		do = 224.043653771616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75481442--0.75476648) × cos(-0.74730751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733521520012785 × 6371000     		du = 224.036353055683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74727234)-sin(-0.74730751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733545423420315-0.733521520012785)×R²
    abs(-0.75476648--0.75481442)×2.39034075301126e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39034075301126e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39034075301126e-05×40589641000000     		ar = 50200.2111726992m²