Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49790 / 58298
↖ ↑ ↗
← N 19.492486°
W 43.247681°		 ← 287.92 m → N 19.492486°
W 43.244934°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
N 19.489897°
W 43.247681°		 ← 287.92 m →
82 895 m²		 N 19.489897°
W 43.244934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379871368408203 y=0.444782257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379871368408203 × 217)
    floor (0.379871368408203 × 131072)
    floor (49790.5)     		tx = 49790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444782257080078 × 217)
    floor (0.444782257080078 × 131072)
    floor (58298.5)     		ty = 58298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49790 / 58298 ti = "17/49790/58298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49790/58298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49790 ÷ 217
    49790 ÷ 131072     		x = 0.379867553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58298 ÷ 217
    58298 ÷ 131072     		y = 0.444778442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379867553710938 × 2 - 1) × π
    -0.240264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75481442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444778442382812 × 2 - 1) × π
    0.110443115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.346967279449966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75481442} λ = -0.75481442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346967279449966))-π/2
    2×atan(1.41477043254635)-π/2
    2×0.955502192798047-π/2
    1.91100438559609-1.57079632675     		φ = 0.34020806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75481442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.247681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34020806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.492486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49790 KachelY 58298 -0.75481442 0.34020806 -43.247681 19.492486
    Oben rechts KachelX + 1 49791 KachelY 58298 -0.75476648 0.34020806 -43.244934 19.492486
    Unten links KachelX 49790 KachelY + 1 58299 -0.75481442 0.34016287 -43.247681 19.489897
    Unten rechts KachelX + 1 49791 KachelY + 1 58299 -0.75476648 0.34016287 -43.244934 19.489897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34020806-0.34016287) × R
    4.51899999999728e-05 × 6371000     		dl = 287.905489999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34020806-0.34016287) × R
    4.51899999999728e-05 × 6371000     		dr = 287.905489999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75481442--0.75476648) × cos(0.34020806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94268525979902 × 6371000     		do = 287.920343061019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75481442--0.75476648) × cos(0.34016287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942700337981834 × 6371000     		du = 287.924948326163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34020806)-sin(0.34016287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94268525979902-0.942700337981834)×R²
    abs(-0.75476648--0.75481442)×1.50781828142099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50781828142099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50781828142099e-05×40589641000000     		ar = 82894.5104045375m²