Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4979 / 5205
↖ ↑ ↗
← S 43.739352°
E 38.803711°		 ← 3 530.45 m → S 43.739352°
E 38.847656°		 →
↑
3 529.47 m
↓
↑
3 529.47 m
↓
S 43.771094°
E 38.803711°		 ← 3 528.58 m →
12 457 331 m²		 S 43.771094°
E 38.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60784912109375 y=0.63543701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60784912109375 × 213)
    floor (0.60784912109375 × 8192)
    floor (4979.5)     		tx = 4979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63543701171875 × 213)
    floor (0.63543701171875 × 8192)
    floor (5205.5)     		ty = 5205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4979 / 5205 ti = "13/4979/5205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4979/5205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4979 ÷ 213
    4979 ÷ 8192     		x = 0.6077880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5205 ÷ 213
    5205 ÷ 8192     		y = 0.6353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6077880859375 × 2 - 1) × π
    0.215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67725252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6353759765625 × 2 - 1) × π
    -0.270751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.850592346858276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67725252} λ = 0.67725252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850592346858276))-π/2
    2×atan(0.427161829026368)-π/2
    2×0.403700310171092-π/2
    0.807400620342185-1.57079632675     		φ = -0.76339571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67725252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.803711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76339571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.739352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4979 KachelY 5205 0.67725252 -0.76339571 38.803711 -43.739352
    Oben rechts KachelX + 1 4980 KachelY 5205 0.67801951 -0.76339571 38.847656 -43.739352
    Unten links KachelX 4979 KachelY + 1 5206 0.67725252 -0.76394970 38.803711 -43.771094
    Unten rechts KachelX + 1 4980 KachelY + 1 5206 0.67801951 -0.76394970 38.847656 -43.771094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76339571--0.76394970) × R
    0.000553990000000004 × 6371000     		dl = 3529.47029000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76339571--0.76394970) × R
    0.000553990000000004 × 6371000     		dr = 3529.47029000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67725252-0.67801951) × cos(-0.76339571) × R
    0.000766990000000023 × 0.722492458814021 × 6371000     		do = 3530.45455207042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67725252-0.67801951) × cos(-0.76394970) × R
    0.000766990000000023 × 0.722109331023211 × 6371000     		du = 3528.58240069141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76339571)-sin(-0.76394970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722492458814021-0.722109331023211)×R²
    abs(0.67801951-0.67725252)×0.000383127790810844×R²
    0.000766990000000023×0.000383127790810844×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383127790810844×40589641000000     		ar = 12457330.9189964m²