Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4979 / 5173
↖ ↑ ↗
← S 42.714732°
E 38.803711°		 ← 3 590.30 m → S 42.714732°
E 38.847656°		 →
↑
3 589.36 m
↓
↑
3 589.36 m
↓
S 42.747012°
E 38.803711°		 ← 3 588.43 m →
12 883 530 m²		 S 42.747012°
E 38.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60784912109375 y=0.63153076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60784912109375 × 213)
    floor (0.60784912109375 × 8192)
    floor (4979.5)     		tx = 4979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63153076171875 × 213)
    floor (0.63153076171875 × 8192)
    floor (5173.5)     		ty = 5173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4979 / 5173 ti = "13/4979/5173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4979/5173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4979 ÷ 213
    4979 ÷ 8192     		x = 0.6077880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5173 ÷ 213
    5173 ÷ 8192     		y = 0.6314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6077880859375 × 2 - 1) × π
    0.215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67725252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.262939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.826048654252808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67725252} λ = 0.67725252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826048654252808))-π/2
    2×atan(0.437775676350362)-π/2
    2×0.412641805534758-π/2
    0.825283611069516-1.57079632675     		φ = -0.74551272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67725252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.803711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74551272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.714732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4979 KachelY 5173 0.67725252 -0.74551272 38.803711 -42.714732
    Oben rechts KachelX + 1 4980 KachelY 5173 0.67801951 -0.74551272 38.847656 -42.714732
    Unten links KachelX 4979 KachelY + 1 5174 0.67725252 -0.74607611 38.803711 -42.747012
    Unten rechts KachelX + 1 4980 KachelY + 1 5174 0.67801951 -0.74607611 38.847656 -42.747012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74551272--0.74607611) × R
    0.000563389999999941 × 6371000     		dl = 3589.35768999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74551272--0.74607611) × R
    0.000563389999999941 × 6371000     		dr = 3589.35768999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67725252-0.67801951) × cos(-0.74551272) × R
    0.000766990000000023 × 0.734740196069302 × 6371000     		do = 3590.30303798603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67725252-0.67801951) × cos(-0.74607611) × R
    0.000766990000000023 × 0.734357904656667 × 6371000     		du = 3588.43497356337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74551272)-sin(-0.74607611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734740196069302-0.734357904656667)×R²
    abs(0.67801951-0.67725252)×0.000382291412634905×R²
    0.000766990000000023×0.000382291412634905×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382291412634905×40589641000000     		ar = 12883529.5839015m²