Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4979 / 4077
↖ ↑ ↗
← N 66.679087°
W 70.598145°		 ← 967.25 m → N 66.679087°
W 70.576172°		 →
↑
967.44 m
↓
↑
967.44 m
↓
N 66.670387°
W 70.598145°		 ← 967.59 m →
935 915 m²		 N 66.670387°
W 70.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303924560546875 y=0.248870849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303924560546875 × 214)
    floor (0.303924560546875 × 16384)
    floor (4979.5)     		tx = 4979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248870849609375 × 214)
    floor (0.248870849609375 × 16384)
    floor (4077.5)     		ty = 4077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4979 / 4077 ti = "14/4979/4077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4979/4077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4979 ÷ 214
    4979 ÷ 16384     		x = 0.30389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4077 ÷ 214
    4077 ÷ 16384     		y = 0.24884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30389404296875 × 2 - 1) × π
    -0.3922119140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.23217007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24884033203125 × 2 - 1) × π
    0.5023193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.57808273549225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23217007} λ = -1.23217007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57808273549225))-π/2
    2×atan(4.84565649424767)-π/2
    2×1.36728296719543-π/2
    2.73456593439086-1.57079632675     		φ = 1.16376961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23217007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.598145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16376961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.679087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4979 KachelY 4077 -1.23217007 1.16376961 -70.598145 66.679087
    Oben rechts KachelX + 1 4980 KachelY 4077 -1.23178657 1.16376961 -70.576172 66.679087
    Unten links KachelX 4979 KachelY + 1 4078 -1.23217007 1.16361776 -70.598145 66.670387
    Unten rechts KachelX + 1 4980 KachelY + 1 4078 -1.23178657 1.16361776 -70.576172 66.670387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16376961-1.16361776) × R
    0.000151849999999953 × 6371000     		dl = 967.436349999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16376961-1.16361776) × R
    0.000151849999999953 × 6371000     		dr = 967.436349999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23217007--1.23178657) × cos(1.16376961) × R
    0.000383500000000092 × 0.395880710128403 × 6371000     		do = 967.246827621692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23217007--1.23178657) × cos(1.16361776) × R
    0.000383500000000092 × 0.396020149714119 × 6371000     		du = 967.587517363521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16376961)-sin(1.16361776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395880710128403-0.396020149714119)×R²
    abs(-1.23178657--1.23217007)×0.000139439585715717×R²
    0.000383500000000092×0.000139439585715717×6371000²
    0.000383500000000092×0.000139439585715717×40589641000000     		ar = 935914.540082298m²